2007-山东卷文-13 填-幂函数复合求值

本题导读

本题考查幂函数，以及复合函数。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设函数 $f_1(x)=x^{\frac{1}{2}}$，$f_2(x)=x^{-1}$，$f_3(x)=x^2$，则 $f_1\left(f_2\left(f_3(2007)\right)\right)=$　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f_3(2007)=2007^2$。
2. $f_2\left(2007^2\right)=\frac{1}{2007^2}$。
3. $f_1\left(\frac{1}{2007^2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2007^2}}=\frac{1}{2007}$（$2007>0$）。

✅【答案】

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\dfrac{1}{2007}

✍【详细解析】

Abstract

$f_3(2007)=2007^2$；$f_2\left(f_3(2007)\right)={\left(2007^2\right)}^{-1}=\frac{1}{2007^2}$； $f_1\left(f_2\left(f_3(2007)\right)\right)={\left(\frac{1}{2007^2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2007}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂函数复合求值

核心方法：由内到外逐层代入：$2007^2\to \frac{1}{2007^2}\to \frac{1}{2007}$

避坑指南：$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ 对正数开方；别把复合顺序 $f_1(f_2(f_3))$ 搞反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：幂函数复合求值，新课标教材例题风格

结论推广：$x^2\to x^{-1}\to x^{\frac{1}{2}}$ 三步复合

方法推广：复合函数求值由内向外逐层算，注意定义域

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2013-江西卷文-11 填-幂函数切线过原点
• 2011-陕西卷文-04 单-幂函数图象识别
• 2012-重庆卷文-10 单-复合函数与不等式
• 2007-辽宁卷文-09 单-对数复合函数单调区间