2007-广东卷文-02 单-复数纯虚数定参

本题导读

本题考查复数代数运算，以及纯虚数的概念。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 若复数 $(1+bi)(2+i)$ 是纯虚数（$i$ 是虚数单位，$b$ 是实数），则 $b=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开乘积：$(1+bi)(2+i)=2+i+2bi+b{i}^2=(2-b)+(1+2b)i$。
2. 纯虚数：实部 $2-b=0$，虚部 $$\begin{gathered} 1+2b \\ neq0 \end{gathered}$$。
3. 解得 $b=2$，虚部 $$\begin{gathered} 5 \\ neq0 \end{gathered}$$ 满足。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$(1+bi)(2+i)=2+i+2bi+b{i}^2=(2-b)+(1+2b)i$． 该复数为纯虚数，故实部 $2-b=0$，解得 $b=2$，此时虚部 $$\begin{gathered} 1+2b=5 \\ neq0 \end{gathered}$$，成立． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数纯虚数定参

核心方法：展开定型：$(1+bi)(2+i)=(2-b)+(1+2b)i$，实部为零且虚部非零

避坑指南：纯虚数要同时验证虚部 $1+2b\ne 0$；本题 $b=2$ 时虚部 5 恰好非零，若解得虚部为零的根须舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数纯虚数问题是广东卷高频考点（2013-2015 文科连续考查复数运算）

结论推广：$(a+bi)(c+di)$ 型纯虚数条件为实部为零且虚部非零，二者缺一不可

方法推广：含参复数定型问题：先展开整理成 $A+Bi$ 标准形，再按实部虚部列方程组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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• 2014-广东卷文-02 单-复数运算
• 2013-广东卷文-03 单-复数模