2013-广东卷文-03 单-复数模

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 若 $i(x+yi)=3+4i$，$x$，$y\in \mathbf{R}$，则复数 $x+yi$ 的模是()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $i(x+yi)=ix+i^{2}y=-y+xi$。
2. 由复数相等：$-y=3$，$x=4$，即 $x+yi=4-3i$。
3. $|x+yi|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$。

✅【答案】

点击查看答案

（D）

✍【详细解析】

Abstract

$i(x+yi)=ix+i^{2}y=-y+xi$。 由 $-y+xi=3+4i$ 及复数相等的条件： $-y=3,x=4,$ 即 $y=-3$，故 $x+yi=4-3i$。 所求模 $|4-3i|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25}=5.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数相等与复数的模

核心方法：$i(x+yi)=ix+i^{2}y=-y+xi=3+4i$ → $-y=3$，$x=4$ → $|x+yi|=|4-3i|=5$

避坑指南：$i^2=-1$ 别写成 $i^2=1$——展开后实部是 $-y$（带负号），令 $-y=3$ 得 $y=-3$；求模时 $4$ 与 $-3$ 平方相加再开方，别把负号丢进根号外。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的四则运算与模（复数相等条件，广东卷选择题）。

结论推广：$i^2=-1$ 展开；复数相等 ⟺ 实部、虚部分别相等；$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$。

方法推广：展开左边 → 按复数相等列方程组 → 解出 $x,y$ → 求模。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-01 单-复数模
• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算
• 2014-广东卷文-02 单-复数运算