2007-广东卷文-14 填-极坐标化直角坐标求距离

本题导读

本题考查极坐标系，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） （坐标系与参数方程选做本题） 在极坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \theta =3$，则点 $\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ 到直线 $l$ 的距离为　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 由 $y=\rho \sin \theta$，直线 $\rho \sin \theta =3$ 即直线 $y=3$。
2. 点 $\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ 的直角坐标：$x=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$，$y=2\sin \frac{\pi }{6}=1$。
3. 该点到 $y=3$ 的距离为 $|3-1|=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由极坐标与直角坐标的关系 $y=\rho \sin \theta$，直线 $\rho \sin \theta =3$ 即为直线 $y=3$． 点 $\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$ 的直角坐标为 $\left(2\cos \frac{\pi }{6},2\sin \frac{\pi }{6}\right)=(\sqrt{3},1)$，其纵坐标为 $1$． 所以它到直线 $y=3$ 的距离为 $|1-3|=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标化直角坐标求距离

核心方法：$y=\rho \sin \theta$ 化直线为 $y=3$，点化 $(\sqrt{3},1)$ 求纵向距离 2

避坑指南：先互化再算距离；点的纵坐标是 $2\sin \frac{\pi }{6}=1$，横坐标用不上时别干扰运算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标与直角坐标互化是坐标系与参数方程选考的基本功，广东文 2014/2015 第 14 题延续此考法

结论推广：$\rho \cos \theta =x$，$\rho \sin \theta =y$；点与直线先统一坐标系再算距离

方法推广：极坐标距离问题：先互化为直角坐标，用解析几何常规工具，再按需回代

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
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