2008-广东卷文-14 填-极坐标曲线交点

本题导读

$\rho \cos \theta =3$ 与 $\rho =4\cos \theta$ 联立：$4{\cos }^2\theta =3$，结合范围得 $\theta =\frac{\pi }{6}$，$\rho =2\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） （几何证明选讲与坐标系及参数方程选做本题） 已知曲线 $C_1$，$C_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta =3$，$\rho =4\cos \theta$（$\rho ⩾0$，$0⩽\theta <\frac{\pi }{2}$），则曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标为　　　.

🔍【思路分析】

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把 $\rho =4\cos \theta$ 代入 $\rho \cos \theta =3$ 得 ${\cos }^2\theta =\frac{3}{4}$；$0⩽\theta <\frac{\pi }{2}$ 内只有一解，代回求 $\rho$.

✅【答案】

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$(2\sqrt{3},\frac{\pi }{6})$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\rho \cos \theta =3$ 及 $\rho =4\cos \theta$，得 $4{\cos }^2\theta =3$．由于 $0⩽\theta <\frac{\pi }{2}$，所以 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而 $\theta =\frac{\pi }{6}$，$\rho =4\cos \theta =2\sqrt{3}$. 因此交点的极坐标为 $(2\sqrt{3},\frac{\pi }{6})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与曲线交点

核心方法：联立消 $\rho$ 求 $\theta$，代回求 $\rho$，注意 $\theta$ 范围筛根

避坑指南：$4{\cos }^2\theta =3$ 开方有正负两支，但 $0⩽\theta <\frac{\pi }{2}$ 只留 $\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\rho =4\cos \theta$ 本身要求 $\rho ⩾0$，负角解要舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下直线与圆的交点，坐标系与参数方程选讲模块标准题

结论推广：$\rho \cos \theta =p$ 是垂直于极轴的直线，$\rho =2a\cos \theta$ 是过极点的圆

方法推广：极坐标联立消元时保留 $\theta$ 范围筛根，代回求 $\rho$

🔗【关联脉络】

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