2007-广东卷理-02 单-纯虚数概念

本题导读

本题考查复数的基本代数运算与纯虚数的概念特征。通过展开复数乘式，分离出实部与虚部，令实部为 0 且虚部不为 0 从而解出实数 $b$。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 若复数 $(1+b\text{i})(2+\text{i})$ 是纯虚数 ($\text{i}$ 是虚数单位， $b$ 是实数)，则 $b=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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1. 展开复数乘式：利用多项式乘法展开并代入 ${\text{i}}^2=-1$。

2. 分离实部与虚部：将展开式整理为 $A+B\text{i}$ 的标准形式。

3. 应用纯虚数定义：纯虚数满足 $A=0$ 且 $B\ne 0$，建立方程求出 $b$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对已知的复数乘积式进行代数展开： $(1+b\text{i})(2+\text{i})=2+\text{i}+2b\text{i}+b{\text{i}}^2$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入并进行同类项归拢，整理成标准的代数形式： $(1+b\text{i})(2+\text{i})=2+(1+2b)\text{i}-b=(2-b)+(1+2b)\text{i}$

根据纯虚数的数理定义，该复数的实部必须强行等于 0，且虚部严格不能为 0： $\{\begin{array}{l}2-b=0\\ 1+2b\ne 0\end{array}$ 求解该方程组，直接得： $b=2$ 此时虚部为 $1+2\times 2=5\ne 0$，完全合规。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法法则、纯虚数充要条件（ $\text{Re}(z)=0$ 且 $\text{Im}(z)\ne 0$）。
2. 核心方法：实部虚部离析法。
3. 避坑指南：

• 谨防在展开时将 $b{\text{i}}^2$ 错算成 $+b$， 导致实部变成 $2+b⟹b=-2$ 而误选 D。时刻注意 ${\text{i}}^2=-1$ 的符号反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于高中数学选修2-2中复数的基本概念与运算。

2. 结论推广: 复数 $z=A+B\text{i}$ 为纯虚数 $⟺A=0$ 且 $B\ne 0$；为实数 $⟺B=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数