2015-广东卷理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算及共轭复数的概念。解题的关键是先利用 $i^2=-1$ 将复数 $z$ 化简为标准形式 $a+bi$，再根据共轭复数的定义求得 $\bar{z}$。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 若复数 $z=i(3-2i)$（$i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}=$ ()

A. $3-2i$　　　　B. $3+2i$　　　　C. $2+3i$　　　　D. $2-3i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简 $z$：利用乘法分配律展开 $i(3-2i)$，并将 $i^2$ 替换为 $-1$。
2. 标准形式：整理成 $a+bi$ 的形式。
3. 求共轭：对于复数 $z=a+bi$，其共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 复数乘法运算： $z=i(3-2i)$ $z=3i-2i^2$

2. 代入 $i^2=-1$： $z=3i-2(-1)$ $z=3i+2$ 即 $z=2+3i$

3. 求共轭复数： 根据共轭复数的定义，将虚部符号变反： $\bar{z}=2-3i$

最终答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. $i^2$ 的变换：在复数运算中，看到 $i^2$ 必须立刻联想到 $-1$，这是最基础也最容易因符号出错的地方。
2. 共轭的概念：共轭复数仅改变虚部的符号，实部保持不变。
3. 顺序陷阱：化简结果为 $3i+2$ 时，要注意实部是 $2$，虚部是 $3$，不要习惯性地把前面的数字当成实部。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广:
  • 若 $z=a+bi$，则 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。
  • $\overline{z_1\cdot z_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$。
• 方法推广:
  • 几何意义法：在复平面内，复数 $z$ 与 $\bar{z}$ 关于实轴（x轴）对称。
• 相关知识点:
  • 复数的模：$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
  • 虚数单位的周期性：$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$，周期为 4。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-02 单-复数的乘除运算
• 2007-广东卷理-02 单-纯虚数概念
• 2013年广东卷理-3