2007-江西卷文-19 解-独立事件概率

本题导读

本题考查独立事件。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为 $0.6$，$0.5$，移栽后成活的概率分别为 $0.7$，$0.9$． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好一种果树能栽培成苗且移栽成活的概率．

🔍【思路分析】

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（1）设 $A,B$ 分别表示甲、乙成苗，各阶段相互独立：$P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-(1-0.6)(1-0.5)$。 （2）设 $C,D$ 分别表示甲、乙成苗且移栽成活：$P(C)=0.6\times 0.7$、$P(D)=0.5\times 0.9$；恰好一种 $=P(C\cap \bar{D})+P(\bar{C}\cap D)$。

✅【答案】

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（1）$0.8$；（2）$0.492$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设事件 $A$、$B$ 分别表示甲、乙果树成苗，按题意各阶段的成败相互独立， 所以 $P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-(1-0.6)(1-0.5)=1-0.4\times 0.5=0.8$． （2）设 $C$、$D$ 分别表示甲、乙果树成苗且移栽成活，则 $P(C)=0.6\times 0.7=0.42$，$P(D)=0.5\times 0.9=0.45$． 恰好一种果树成苗且移栽成活，即”甲成苗成活且乙不成苗成活”或”乙成苗成活且甲不成苗成活”，故 $P(C\cap \bar{D})+P(\bar{C}\cap D)=0.42(1-0.45)+(1-0.42)\times 0.45=0.42\times 0.55+0.58\times 0.45=0.231+0.261=\mathrm{0.492.}$ （易错点：第（2）问要”成苗”且”移栽成活”两步同时满足，“恰好一种”分 $C\cap \bar{D}$ 与 $\bar{C}\cap D$ 两类，勿与第（1）问的”至少一种成苗”混淆．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：$P(A\cup B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})$；恰好一种 $=P(C\cap \bar{D})+P(\bar{C}\cap D)$

避坑指南：第（2）问”成苗”与”移栽成活”两步相乘；“恰好一种”分两类相加，别与”至少一种”混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件的概率应用，概率大题标准型

结论推广：$P(C\cap \bar{D})+P(\bar{C}\cap D)$ 是”恰好一个”的标准写法

方法推广：概率大题三步：设事件、定独立/互斥关系、套公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练(Links)

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• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率