2009-北京卷文-17 解-独立事件概率

本题导读

概率解答题。(1) 前两个路口均未遇、第三个遇：${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot \frac{1}{3}$；(2) 停留至多 $4$ min $⟺$ 遇红灯次数 $⩽2$，三类相加得 $\frac{8}{9}$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 某学生在上学路上要经过 $4$ 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$，遇到红灯时停留的时间都是 $2$ min.

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 $4$ min 的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) 首次在第三个路口遇红灯：前两个不遇、第三个遇，${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$。
2. (2) 停留至多 $4$ min $⟺$ 遇红灯次数 $k⩽2$。
3. $P(k⩽2)={\left(\frac{2}{3}\right)}^4+{\mathrm{C}}_4^1\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^3+{\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{16+32+24}{81}=\frac{8}{9}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{4}{27}$；(2)$\frac{8}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 记”到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 $A$，则前两个路口均未遇到红灯且第三个路口遇到红灯。由独立性 $P(A)={\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{9}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}.$

（2） 每次遇红灯停留 $2$ min，停留至多 $4$ min 等价于遇到红灯的次数 $k⩽2$。设 $P_k$ 为恰遇 $k$ 次红灯的概率： $P_0={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81},$ $P_1={\mathrm{C}}_4^1\left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{32}{81},$ $P_2={\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{24}{81}.$ 三类互斥，故 $P(k⩽2)=\frac{16+32+24}{81}=\frac{72}{81}=\frac{8}{9}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与分类加法

核心方法：独立连乘 + 按红灯次数分类

避坑指南：停留至多 $4$ min 等价于遇红灯 $k⩽2$ 次，三类概率分母都是 $81$，$16+32+24=72$ 别加错；“首次在第三个路口”要求前两个都不遇。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件概率是概率解答题的标准模型。

结论推广：独立事件连乘 $P(AB)=P(A)P(B)$；互斥事件分类相加。

方法推广：“至多/至少”用分类列举或对立事件转化，本题 $k⩽2$ 比 $1-P(k=3)-P(k=4)$ 更直接。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率
• 2013-北京卷文-16 解-空气质量概率