2007-福建卷文-18 解-独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 甲，乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别为 $0.7$，$0.6$，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （1）甲试跳三次，第三次才成功的概率. （2）甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率. （3）甲，乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

🔍【思路分析】

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1. （1）独立事件连乘：失败、失败、成功。
2. （2）正难则反：都失败的概率。
3. （3）“甲比乙多一次”=（甲 1 次，乙 0 次）或（甲 2 次，乙 1 次），分别用二项分布再相加。

✅【答案】

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（1）$0.063$；（2）$0.88$；（3）$0.3024$

✍【详细解析】

Abstract

记”甲第 $i$ 次试跳成功”为事件 $A_i$，“乙第 $i$ 次试跳成功”为事件 $B_i$，$P(A_i)=0.7$，$P(B_i)=0.6$，各事件相互独立． （1）$P\left(\overline{A_1}\overline{A_2}{A}_3\right)=0.3\times 0.3\times 0.7=0.063$． （2）“至少有一人成功”的对立事件是”两人都失败”： $P=1-P\left(\overline{A_1}\right)P\left(\overline{B_1}\right)=1-0.3\times 0.4=\mathrm{0.88.}$ （3）设甲、乙各试跳两次的成功次数分别为 $X$，$Y$．$X=Y+1$ 分为互斥的两种情形： $X=1$ 且 $Y=0$：$P_1=C_2^1\cdot 0.7\cdot 0.3\times 0.4^2=0.42\times 0.16=0.0672$； $X=2$ 且 $Y=1$：$P_2=0.7^2\times C_2^1\cdot 0.6\cdot 0.4=0.49\times 0.48=0.2352$． 故 $P(X=Y+1)=0.0672+0.2352=0.3024$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：独立连乘、对立相减、互斥分类相加三件套

避坑指南：“第三次才成功”=前两次都失败；“恰好多一次”要分（1,0）与（2,1）两类，用二项分布算各类概率

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验概率三问式大题，概率应用题标准型

结论推广：推广：$n$ 次独立试验中”恰好 $k$ 次”用 $C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

方法推广：概率大题三步：设事件、定关系（独立/互斥/对立）、代入公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2007-江苏卷-17 解-独立重复试验概率
• 2007-大纲卷I文-18 解-独立重复试验与对立事件
• 2007-天津卷文-18 解-独立与互斥事件
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布