2007-江西卷文-21 解-等比数列与交错求和

本题导读

本题考查等比数列。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 为等比数列，$a_1=1$，$a_2=3$． （1）求最小的自然数 $n$，使 $a_n⩾2007$； （2）求和：$T_{2n}=\frac{1}{a_1}-\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}-\cdots -\frac{2n}{a_{2n}}$．

🔍【思路分析】

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（1）公比 $q=\frac{a_2}{a_1}=3$，$a_n=3^{n-1}$；$3^6=729<2007⩽2187=3^7$，故 $n-1⩾7$，最小 $n=8$。 （2）$T_{2n}={\sum }_{k=1}^{2n}k{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{k-1}$，对 ${\sum }_{k=0}^{2n}{r}^k=\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}$ 两边求导再令 $r=-\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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（1）$n=8$；（2）$T_{2n}=\frac{9}{16}-\frac{8n+3}{16\cdot 3^{2n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）公比 $q=\frac{a_2}{a_1}=3$，故 $a_n=3^{n-1}$． 由 $3^6=729<2007⩽2187=3^7$，得 $n-1⩾7$，满足条件的最小自然数为 $n=8$． （2）由 $a_k=3^{k-1}$，有 $T_{2n}={\sum }_{k=1}^{2n}k{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{k-1}$． 由有限等比数列求和公式 ${\sum }_{k=0}^{2n}{r}^k=\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}$，两边对 $r$ 求导： $1+2r+3r^2+\cdots +2n{r}^{2n-1}=\frac{1-(2n+1)r^{2n}+2n{r}^{2n+1}}{(1-r{)}^2}.$ 令 $r=-\frac{1}{3}$，则 $T_{2n}=\frac{1-\frac{2n+1}{3^{2n}}-\frac{2n}{3^{2n+1}}}{{\left(1+\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{9}{16}\left(1-\frac{8n+3}{3^{2n+1}}\right)=\frac{9}{16}-\frac{8n+3}{16\cdot 3^{2n-1}}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与交错求和

核心方法：公比 $q=3$，$3^6<2007⩽3^7$ 定 $n$；$T_{2n}=\sum k(-\frac{1}{3}{)}^{k-1}$ 求导法求和

避坑指南：交错和 $k{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{k-1}$ 用等比求和式求导得；代 $n=1$ 检验 $T_2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列通项与交错求和（求导法），数列大题

结论推广：$\sum k{r}^{k-1}$ 型交错和用等比求和式求导得

方法推广：含 $k$ 因子的和式优先想”求导/错位相减”两类方法

🔗【关联脉络】

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• 2007-大纲卷I文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2009-天津卷文-20 解-等差数列交错和
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