2007-江西卷理-09 单-点圆位置关系

本题导读

本题是一道椭圆、一元二次方程与圆的位置关系相结合的综合选择题。核心在于利用离心率将椭圆基本量 $a,b,c$ 统一用 $c$ 表达，通过韦达定理表示出点 $P$ 的坐标乘积与和，再利用点到原点的距离公式与圆的半径进行大小比对。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $e=\frac{1}{2}$，右焦点为 $F(c,0)$，方程 $a{x}^2+bx-c=0$ 的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则点 $P(x_1,x_2)$()

A. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 内　　　　　　B. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 上

C. 必在圆 $x^2+y^2=2$ 外　　　　　　D. 以上三种情形都有可能

🔍【思路分析】

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1. 基本量表达：由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2c$。

2. 消元确定基本量：利用椭圆关系式 $b^2=a^2-c^2=(2c{)}^2-c^2=3c^2⟹b=\sqrt{3}c$。

3. 结合韦达定理确定坐标关系： 一元二次方程为 $a{x}^2+bx-c=0⟹2c{x}^2+\sqrt{3}cx-c=0$。由于 $c>0$，方程两边约去 $c$ 得 $2x^2+\sqrt{3}x-1=0$。 由韦达定理知： $x_1+x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$， $x_1{x}_2=-\frac{1}{2}$。

4. 计算点到原点的距离： 点 $P(x_1,x_2)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离平方为 $x_1^2+x_2^2$。 利用公式变形 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ 求解，并与圆的半径平方 2 进行大小比对。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$， 所以可得基本量之间的比例关系： $a=2c$ 根据椭圆中三个基本量的内在性质 $b^2=a^2-c^2$， 代入可得： $b^2=(2c{)}^2-c^2=4c^2-c^2=3c^2⟹b=\sqrt{3}c(\because b>0,c>0)$

将 $a=2c$ 和 $b=\sqrt{3}c$ 代入已知的一元二次方程 $a{x}^2+bx-c=0$ 中： $2c{x}^2+\sqrt{3}cx-c=0$ 因为右焦点为 $F(c,0)$， 显见 $c>0$。 方程两边同时除以非零常数 $c$ 进行精简： $2x^2+\sqrt{3}x-1=0$ 该方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$， 根据一元二次方程韦达定理（根与系数的关系）可得： $x_1+x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2},x_1{x}_2=-\frac{1}{2}$

要判定点 $P(x_1,x_2)$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的几何位置关系， 只需计算点 $P$ 的坐标代入圆的方程左端项（即点 $P$ 到原点的距离平方）， 与半径平方 2 进行大小比对： $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ 将求得的韦达定理组合项代入上式中： $x_1^2+x_2^2={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$

因为 $\frac{7}{4}<2$， 也就是说点 $P$ 的坐标满足： $x_1^2+x_2^2<2$ 根据点与圆的位置关系判定法则， 点到圆心的距离小于半径， 所以， 点 $P(x_1,x_2)$ 必在圆 $x^2+y^2=2$ 的内部。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆基本量代换、韦达定理的完全平方变形、点与圆的位置关系准则（ $x^2+y^2<R^2$ 居圆内）。
2. 核心方法：基本量统一消元法、对称式代数变形法。
3. 避坑指南：

• 本题容易在约去 $c$ 时犹豫不决。要牢记在解析几何中，看到基本量 $a,b,c$ 且给出了比例，第一反应就是“统一用其中一个量（通常是 $c$）表示出来”。一旦代入方程约去 $c$， 题目就变成了纯粹高一水平的代数运算， 难度大步下降。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的几何性质与离心率、一元二次方程的韦达定理是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是椭圆的几何性质与离心率、一元二次方程的韦达定理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用代数消元基本量代换法、距离公式比对法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.17 非对称韦达题型总结
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2008-上海卷文-15 单-优于新定义劣弧