🟦 非对称韦达题型总结

首先什么是“非对称韦达定理”呢？那就有必要先谈一下我们常见的“对称性韦达定理”，所谓对称性韦达定理就是我们常见的如下结构式子： $x_{1} + x_{2}$ ， $x_{1} \cdot x_{2}$ ， $y_{1} + y_{2}$ ， $y_{1} \cdot y_{2}$ ，又或者 $(x_{1} - 2) \cdot (x_{2} - 2)$ ， $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 等一些可以经过简单的化简，然后用韦达定理表达的结构式子。而“非对称韦达定理”是指以下的一些结构： $x_{1} + 3 x_{2}$ ， $\frac{y _{1} ( x _{2} - 2 )}{y _{2} ( x _{1} + 2 )}$ 等，无法直接或经过简单化简后使用韦达定理进行计算的结构性式子。那么我们该如何处理呢？ -

示例

已知点 $P$ 在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 上，点 $P$ 在 $x$ 轴上的投影为 $Q$ ，动点 $M$ 满足 $4 P Q = 32 M Q$ . (1) 求动点 $M$ 轨迹 $E$ 的方程； (2) 设 $G (- 3, 0)$ ， $H (3, 0)$ ，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，问直线 $A G$ 与直线 $B H$ 的斜率之比是否为定值？若为定值，请求出该值，若不为定值，试说明理由.

解: (1) 动点 $M$ 的轨迹方程 $E : \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{8} = 1$ （过程略）.

(2) 由题意知， $l$ 的斜率不为 $0$ ，则设 $l : x = m y + 1$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，与曲线 $E$ 联立得 $⎩ ⎨ ⎧ x = m y + 1, \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{8} = 1,$ 整理得 $(8 m^{2} + 9) y^{2} + 16 m y - 64 = 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} = \frac{- 16 m}{8 m ^{2} + 9}$ ， $y_{1} y_{2} = \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9}$ . 设直线 $A G$ 的斜率为 $k_{1} = \frac{y _{1}}{x _{1} + 3}$ ，直线 $B H$ 的斜率为 $k_{2} = \frac{y _{2}}{x _{2} - 3}$ ，此时 $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1} ( x _{2} - 3 )}{y _{2} ( x _{1} + 3 )}$ . 计算到此，学生傻眼了，无法应用韦达定理，这就是典型的“非对称韦达定理”结构式子.

方法一: 积化和法

就是把韦达定理的积式转化为和式表达，这是处理“非对称韦达定理”问题的最重要方法. 下面就用这种方法解决例题的后续部分: 因为 $\frac{y _{1} y _{2}}{y _{1} + y _{2}} = \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9} \div \frac{- 16 m}{8 m ^{2} + 9} = \frac{4}{m}$ ，所以 $m y_{1} y_{2} = 4 (y_{1} + y_{2})$ ，所以 $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1} ( x _{2} - 3 )}{y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} + 1 - 3 )}{y _{2} ( m y _{1} + 1 + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} - 2 )}{y _{2} ( m y _{1} + 4 )} = \frac{m y _{1} y _{2} - 2 y _{1}}{m y _{2} y _{1} + 4 y _{2}} = \frac{4 y _{1} + 4 y _{2} - 2 y _{1}}{4 y _{1} + 4 y _{2} + 4 y _{2}} = \frac{1}{2}$ . 所以直线 $A G$ 与 $B H$ 的斜率之比是定值 $\frac{1}{2}$ . 从解题的过程可以看出，核心就是利用韦达定理的积式转为和式表达，然后把题目所求的部分化为统一的和结构式子进行运算处理，使问题得以解决. -

方法二: 配凑保留单变量法

就是把原来的非对称韦达定理结构式经过化简后只保留一个未知数，进行最后的计算，从而得到结果. 下面就用这种方法解决例题的后续部分. 因为， $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1} ( x _{2} - 3 )}{y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} + 1 - 3 )}{y _{2} ( m y _{1} + 1 + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} - 2 )}{y _{2} ( m y _{1} + 4 )} = \frac{m y _{1} y _{2} - 2 y _{1}}{m y _{2} y _{1} + 4 y _{2}}$ （1） $= \frac{m y _{1} y _{2} - 2 ( y _{1} + y _{2} ) + 2 y _{2}}{m y _{2} y _{1} + 4 y _{2}} = \frac{m \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9} - 2 \frac{- 16 m}{8 m ^{2} + 9} + 2 y _{2}}{m \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9} + 4 y _{2}}$ （2） $= \frac{- 32 m + 2 y _{2} ( 8 m ^{2} + 9 )}{- 64 + 4 y _{2} ( 8 m ^{2} + 9 )} = \frac{1}{2}$ . 所以直线 $A G$ 与 $B H$ 的斜率之比是定值 $\frac{1}{2}$ . 在上面的过程中我们可以看到，在（1）式的时候，式子是含有 $y$ 的两个变量的，我们通过配凑的手段，就合成了含有 $y_{1} + y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ ，而且只剩下了一个变量 $y_{2}$ 的式子，即（2）式. 最终通过韦达定理代入化简得到结果.

方法三: 圆锥曲线替换法

就是在“非对称韦达定理”结构式子的分子和分母同时乘以 $y_{1}$ 或 $y_{2}$ ，使式子出现二次的平方项，然后再利用圆锥曲线的方程式代入进行消元化简，从而得到结果的一种方法. 下面就用这种方法解决例题的后续部分：因为 $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1} ( x _{2} - 3 )}{y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{y _{1}^{2} ( x _{2} - 3 )}{y _{1} y _{2} ( x _{1} + 3 )}$ （3）而 $\frac{x _{1}^{2}}{9} + \frac{y _{1}^{2}}{8} = 1$ ，所以 $y_{1}^{2} = \frac{8 ( 9 - x _{1}^{2} )}{9} = \frac{8 ( 3 - x _{1} ) ( 3 + x _{1} )}{9}$ （4）代入（3）式得 $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1}^{2} ( x _{2} - 3 )}{y _{1} y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{\frac{8 ( 3 - x _{1} ) ( 3 + x _{1} )}{9} ( x _{2} - 3 )}{y _{1} y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{8 ( x _{1} - 3 ) ( x _{2} - 3 )}{- 9 y _{1} y _{2}} = \frac{8 [ x _{1} x _{2} - 3 ( x _{1} + x _{2} ) + 9 ]}{- 9 y _{1} y _{2}}$ （5）又 $x_{1} + x_{2} = \frac{18}{8 m ^{2} + 9}, x_{1} x_{2} = \frac{9 ( 1 - 8 m ^{2} )}{8 m ^{2} + 9}$ ，

代入（5）式得： $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{8 [ x _{1} x _{2} - 3 ( x _{1} + x _{2} ) + 9 ]}{- 9 y _{1} y _{2}} = \frac{8 ( \frac{9 ( 1 - 8 m ^{2} )}{8 m ^{2} + 9} - 3 \cdot \frac{18}{8 m ^{2} + 9} + 9 )}{- 9 \cdot \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9}} = \frac{1}{2}$ .

所以直线 $A G$ 和 $B H$ 的斜率之比为定值 $\frac{1}{2}$ . 从以上的过程我们可以明显看出，这个方法的关键步骤就是（3）式同时乘以 $y_{1}$ ，和在（4）式中通过圆锥曲线的方程进行代换化简，从而得到（5）式的对称性结构式，再代入韦达定理的式子，最后得到想要的结果.

方法四: 圆锥曲线第三定义法

意思是指利用椭圆或双曲线第三定义中两斜率的积为定值这一性质，把其中的一个斜率进行转移替换，从而把原来的求证式从“非对称韦达定理”的形式转为对称性韦达定理的结构形式，从而得解。下面就用这种办法求解例题后续部分: 连接 $A H$ ，根据椭圆的第三定义我们知道， $k_{A G} k_{A H} = - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = - \frac{8}{9}$ ，所以， $k_{A G} = - \frac{8}{9 k _{A H}}$ (6)

此时题目所求的， $\frac{k _{A G}}{k _{B H}} = \frac{- \frac{8}{9 k _{A H}}}{k _{B H}} = - \frac{8}{9 k _{A H} k _{B H}}$ (7) 而 $k_{A H} k_{B H} = \frac{y _{1}}{x _{1} - 3} \cdot \frac{y _{2}}{x _{2} - 3} = \frac{y _{1} y _{2}}{x _{1} x _{2} - 3 ( x _{1} + x _{2} ) + 9}$ (8) $= \frac{\frac{- 64}{8 m ^{2} + 9}}{\frac{9 ( 1 - 8 m ^{2} )}{8 m ^{2} + 9} - 3 \frac{18}{8 m ^{2} + 9} + 9} = \frac{- 16}{9}$ 所以 $\frac{k _{A G}}{k _{B H}} = - \frac{8}{9 k _{A H} k _{B H}} = - \frac{8}{9 \cdot \frac{- 16}{- 9}} = \frac{1}{2}$ ，所以直线 $A G$ 和 $B H$ 的斜率之比为定值 $\frac{1}{2}$ 。由以上的解题过程我们可以看到，关键的步骤在于第(6)步利用第三定义进行的斜率转移替换，从而把原来的非对称形式转成第(7)、(8)步的常规对称结构形式，从而使题目得到解决。

方法五: 求根公式暴力代入法

顾名思义，这个方法就是对直线方程与圆锥曲线联立得到的一元二次方程，使用求根公式求出对应的根，代入所求的式子直接化简得到结果。下面就用这种方法求解例题后续部分: (2) 由题意知， $l$ 的斜率不为 $0$ ，则设 $l : x = m y + 1$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，与曲线 $E$ 联立得 $⎩ ⎨ ⎧ x = m y + 1, \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{8} = 1,$ 整理得 $(8 m^{2} + 9) y^{2} + 16 m y - 64 = 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} = \frac{- 16 m}{8 m ^{2} + 9}$ ， $y_{1} y_{2} = \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9}$ ， $y_{1} = \frac{- 8 m + 6 m ^{2} + 1}{8 m ^{2} + 9}$ ， $y_{2} = \frac{- 8 m - 6 m ^{2} + 1}{8 m ^{2} + 9}$ .(9) 设直线 $A G$ 的斜率为 $k_{1} = \frac{y _{1}}{x _{1} + 3}$ ，直线 $B H$ 的斜率为 $k_{2} = \frac{y _{2}}{x _{2} - 3}$ ， $\frac{k _{1}}{k _{2}} = \frac{y _{1} ( x _{2} - 3 )}{y _{2} ( x _{1} + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} + 1 - 3 )}{y _{2} ( m y _{1} + 1 + 3 )} = \frac{y _{1} ( m y _{2} - 2 )}{y _{2} ( m y _{1} + 4 )} = \frac{m y _{1} y _{2} - 2 y _{1}}{m y _{2} y _{1} + 4 y _{2}}$ (10) $= \frac{m \cdot \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9} - 2 \cdot \frac{- 8 m + 6 m ^{2} + 1}{8 m ^{2} + 9}}{m \cdot \frac{- 64}{8 m ^{2} + 9} + 4 \cdot \frac{- 8 m - 6 m ^{2} + 1}{8 m ^{2} + 9}} = \frac{- 48 m - 12 m ^{2} + 1}{- 96 m - 24 m ^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ .

所以直线 $A G$ 与 $B H$ 的斜率之比是定值 $\frac{1}{2}$ 。从以上的解题过程我们可以看到，当我们计算到斜率的比的结构式子是非对称结构式子时，做了一个简单的变换，使其只含有参数 $y$ 的式子，发现如果用完韦达定理后还有 $y$ 的两个根，于是直接用求根公式法求根，简单粗暴地把 $y$ 的两个根代入式子，同样求得结果。

∑ ( Math )

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18.17 非对称韦达题型总结