2007-江西卷理-16 填-特殊点圆位置关系

本题导读

本题是一道关于动态圆系与直线位置关系的填空压轴题。核心在于根据圆心和半径关于参数 $k$ 的代数表达式，利用点到直线的距离公式构建关于 $k$ 的多项式方程或不等式，通过判定其对任意 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 是否有解或恒成立，来逐一论证四个命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设有一组圆 $C_k:(x-k+1{)}^2+(y-3k{)}^2=2k^4(k\in {\mathbf{N}}^{\ast })$. 下面四个命题： A. 存在一条定直线与所有的圆均相切； B. 存在一条定直线与所有的圆均相交； C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交； D. 所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是$\underline{}$. (写出所有真命题的代号)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取圆系基本量：

• 圆心坐标为 $M_k(k-1,3k)$。
• 半径的平方为 $R_k^2=2k^4⟹R_k=\sqrt{2}{k}^2$。

2. 分析命题 A、B、C（通用距离模型）：

• 设存在定直线 $l:ax+by+c=0(a^2+b^2\ne 0)$。
• 圆心 $M_k$ 到直线 $l$ 的距离为 $d_k=\frac{|a(k-1)+3bk+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|(a+3b)k+(c-a)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
• 对于 A：若均相切，则 $d_k=R_k⟺\frac{|(a+3b)k+(c-a)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}{k}^2$ 对应 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立。由于左边是关于 $k$ 的一次式，右边是二次式，不可能恒等，故 A 错。
• 对于 B：若均相交，则 $d_k<R_k⟺\frac{|(a+3b)k+(c-a)|}{\sqrt{a^2+b^2}}<\sqrt{2}{k}^2$ 对任意 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立。考虑当 $k$ 趋于无穷大时，二次项必能压制一次项，故只需验证是否存在一条线卡住低阶项。如直接尝试 $x$ 轴、 $y$ 轴或特殊线。
• 对于 C：若均不相交，则 $d_k>R_k$ 恒成立，即一次式需在全域恒大于二次式，这在 $k\to +\infty$ 时显然不可能。

3. 分析命题 D（原点检验法）：

• 将原点 $(0,0)$ 代入圆的方程，检验是否存在正整数 $k$ 使得等式成立。

点击查看答案

该方程在正整数集 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 内无解，即没有任何一个圆经过原点

✍【详细解析】

Abstract

解：由圆的方程可得，圆系 $C_k$ 的圆心为 $M_k(k-1,3k)$，半径为 $R_k=\sqrt{2}{k}^2$，其中 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。

一、分析命题 A、C： 设存在满足条件的定直线 $l:ax+by+c=0(a^2+b^2\ne 0)$。 圆心 $M_k$ 到直线 $l$ 的距离为： $d_k=\frac{|a(k-1)+3bk+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|(a+3b)k+(c-a)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• 若命题 A 成立，需满足 $d_k=\sqrt{2}{k}^2$ 恒成立，即 $|(a+3b)k+(c-a)|=\sqrt{2(a^2+b^2)}\cdot k^2$。此方程左端关于 $k$ 的最高次数为 1，右端最高次数为 2，两多项式不可能恒等。故 A 为假命题。
• 若命题 C 成立，需满足 $d_k>\sqrt{2}{k}^2$ 对一切 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立。变形得 $\sqrt{2(a^2+b^2)}\cdot k^2-|(a+3b)k+(c-a)|<0$ 恒成立。但由于二次项系数 $\sqrt{2(a^2+b^2)}>0$，当 $k\to +\infty$ 时，该式左端必趋于 $+\infty$，不可能恒小于 0。故 C 为假命题。

二、分析命题 B： 若命题 B 成立，需寻找一条定直线，使其满足 $d_k<\sqrt{2}{k}^2$ 对一切 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立。 不妨尝试最简特殊直线：令定直线为 $y$ 轴，即直线方程为 $x=0$。 此时圆心 $M_k(k-1,3k)$ 到 $x=0$ 的距离为： $d_k=|k-1|$ 要使所有圆均与 $x=0$ 相交，需验证 $|k-1|<\sqrt{2}{k}^2$ 是否对任意 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立：

• 当 $k=1$ 时，左边 $=|1-1|=0$，右边 $=\sqrt{2}\times 1^2=\sqrt{2}$， $0<\sqrt{2}$ 成立；
• 当 $k\ge 2$ 时， $k-1<k<k^2<\sqrt{2}{k}^2$ 显然恒成立。 由此可知，直线 $x=0$（ $y$ 轴）与该圆系中的每一个圆都严格相交。故 B 为真命题。

三、分析命题 D： 假设存在某个圆经过原点 $(0,0)$，将 $(0,0)$ 代入圆的方程： $(0-k+1{)}^2+(0-3k{)}^2=2k^4$ $(1-k{)}^2+9k^2=2k^4⟹1-2k+k^2+9k^2=2k^4$ 整理得关于 $k$ 的高次方程： $2k^4-10k^2+2k-1=0$ 我们检验该方程是否存在正整数根 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$：

• 当 $k=1$ 时，左边 $=2(1{)}^4-10(1{)}^2+2(1)-1=2-10+2-1=-7\ne 0$；
• 当 $k=2$ 时，左边 $=2(16)-10(4)+2(2)-1=32-40+4-1=-5\ne 0$；
• 当 $k\ge 3$ 时，进行代数放缩变形： $2k^4-10k^2+2k-1=2k^2(k^2-5)+2k-1$ $\because k\ge 3⟹k^2\ge 9⟹k^2-5\ge 4>0$，且 $2k-1>0$。 $\therefore$ 当 $k\ge 3$ 时， $2k^4-10k^2+2k-1>0$ 恒成立，绝不可能等于 0。 综上所述，该方程在正整数集 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 内无解，即没有任何一个圆经过原点。故 D 为真命题。

最终真命题的代号为：B, D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离公式、直线与圆位置关系的判定充要条件（ $d<R⟺$ 相交）、多项式阶数放缩法。
2. 核心方法：最高次项极限逼近法（阶数对比法）、特殊直线代入尝试法。
3. 避坑指南：

• 对于 B 命题，切忌陷入繁琐的字母参数 $a,b,c$ 普遍推导中。题干中只要问“是否存在”， 只要能成功“举出一个具体的反例直线”证明其对所有 $k$ 成立即可。通过果断尝试最简的 $y$ 轴（ $x=0$），可以瞬间完成不等式放缩，避开通分和多变量讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用代数不等式放缩法、待定系数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-14 填-圆上点到直线距离
• 2008-四川卷理-14 填-圆
• 2008-福建卷文-14 填-直线与圆相离