2007-江西卷理-20 解-拟柱体棱柱割补体积计算

本题导读

本题考查直三棱柱被截后得到的拟柱体的几何性质与体积计算。第一问通过中点构造平行四边形证明线线平行，进而得到线面平行；第二问和第三问可以通过建立空间直角坐标系利用向量法求解二面角，并利用割补法或拟柱体平均高度公式求解几何体的体积。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 如图是一个直三棱柱（以 $A_1{B}_1{C}_1$ 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 $ABC$. 已知 $A_1{B}_1=B_1{C}_1=1$, $\angle A_1{B}_1{C}_1=90^{\circ }$, $A{A}_1=4$, $B{B}_1=2$, $C{C}_1=3$.

(1) 设点 $O$ 是 $AB$ 的中点，证明： $OC//\text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1$；

(2) 求二面角 $B-AC-A_1$ 的大小；

(3) 求此几何体的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：取 $A_1{B}_1$ 的中点 $D$，连结 $OD$。利用中位线定理易证 $OD//B{B}_1$ 且 $OD=3$。进而可以证明四边形 $OD{C}_{1}C$ 是平行四边形，得到 $OC//D{C}_1$，完成线面平行的证明。

2. 建系坐标化：由 $A_1{B}_1\perp B_1{C}_1$ 且侧棱垂直于底面，以 $B_1$ 为坐标原点，分别以 $B_1{A}_1,B_1{C}_1,B_{1}B$ 的射线方向为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

3. 第二问：分别求出平面 $ABC$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1$ 和平面 $A_{1}AC$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2$，通过计算法向量的夹角余弦值来确定二面角的大小。

4. 第三问：直三棱柱截体的体积公式可以由底面积乘以三条侧棱长的平均值直接求得，即 $V=S_{△A_1{B}_1{C}_1}\cdot \frac{A{A}_1+B{B}_1+C{C}_1}{3}$；也可以通过沿 $B$ 点作平行于底面的截面将其割补为一个正三棱柱与一个四棱锥来求解。

✅【答案】

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建立直角坐标系，令𝐴1=(0,0,0),𝐵1=(1,0,0),𝐶1=(1,1,0).

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 取 $A_1{B}_1$ 的中点 $D$，连结 $OD,D{C}_1$。 因为 $O$ 是 $AB$ 的中点，且直三棱柱的侧棱相互平行， 所以 $OD$ 是梯形 $A_{1}AB{B}_1$ 的中位线。 根据中位线性质： $OD//B{B}_1//C{C}_1$ $OD=\frac{A{A}_1+B{B}_1}{2}=\frac{4+2}{2}=3$ 又因为已知 $C{C}_1=3$， 所以 $OD//C{C}_1$ 且 $OD=C{C}_1$。 由此可判定四边形 $OD{C}_{1}C$ 是平面平行四边形。 从而可得其对边平行： $OC//D{C}_1$ 因为 $D{C}_1\subset \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1$， 且 $OC\not\subset \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1$， 所以， $OC//\text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1$。

(2) 解： 以 $B_1$ 为坐标原点， 射线 $B_1{A}_1,B_1{C}_1,B_{1}B$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $B_1-xyz$。 由题意可写出以下关键点的坐标： $B_1(0,0,0),A_1(1,0,0),C_1(0,1,0),B(0,0,2),A(1,0,4),C(0,1,3)$ 由此可得相关向量： $\overrightarrow{AB}=(0-1,0-0,2-4)=(-1,0,-2)$ $\overrightarrow{CB}=(0-0,0-1,2-3)=(0,-1,-1)$ $\overrightarrow{A_{1}A}=(1-1,0-0,4-0)=(0,0,4)$ $\overrightarrow{A_{1}C}=(0-1,1-0,3-0)=(-1,1,3)$

设平面 $ABC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=-x_1-2z_1=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{CB}=-y_1-z_1=0\end{array}$ 令 $z_1=-1$， 解得 $x_1=2,y_1=1$。 故平面 $ABC$ 的一个法向量可取为 ${\mathbf{n}}_1=(2,1,-1)$。

设平面 $A_{1}AC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}A}=4z_2=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=-x_2+y_2+3z_2=0\end{array}$ 由第一句知 $z_2=0$， 代入第二句得 $x_2=y_2$。 令 $x_2=1$， 故平面 $A_{1}AC$ 的一个法向量可取为 ${\mathbf{n}}_2=(1,1,0)$。

计算两法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{2\times 1+1\times 1+(-1)\times 0}{\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2}\times \sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{3}{\sqrt{6}\times \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 由图可知， 二面角 $B-AC-A_1$ 的平面角为锐角。 所以， 该二面角的大小为 $30^{\circ }$ （或 $\frac{\pi }{6}$）。

(3) 解： 法一（标准割补法）： 过点 $B$ 作平行于底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的截面三角形 $△A_{2}B{C}_2$， 将该几何体分割为两部分：

• 下半部分是一个高为 $h=B{B}_1=2$ 的标准直三棱柱 $A_{2}B{C}_2-A_1{B}_1{C}_1$： 其底面积为 $S=\frac{1}{2}\times A_1{B}_1\times B_1{C}_1=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。 体积为： $V_1=S\times B{B}_1=\frac{1}{2}\times 2=1$。
• 上半部分是一个以四边形 $A_{2}AC{C}_2$ 为底面、 $B$ 为顶点的四棱锥 $B-A_{2}AC{C}_2$： 该四边形是一个直角梯形， 高为 $A_2{C}_2=A_1{C}_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 并不方便。 更方便地， 我们可以直接将其视为底面为直角梯形 $A_{2}A{A}_1{B}_{1}B$ 的组合变形。 最标准的几何截体体积， 可以直接套用柱体平均高度体积公式。

法二（平均高度通解公式法）： 直三棱柱被单平面所截得到的柱体， 其体积等于底面积乘以三条侧棱长的算术平均值： $V=S_{△A_1{B}_1{C}_1}\times \frac{A{A}_1+B{B}_1+C{C}_1}{3}$ 将底面积 $S_{△A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$ 以及各侧棱高代入： $V=\frac{1}{2}\times \frac{4+2+3}{3}=\frac{1}{2}\times \frac{9}{3}=\frac{1}{2}\times 3=\frac{3}{2}$

所以， 此几何体的体积为 $\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定定理、空间直角坐标系下的法向量夹角公式、截面柱体的体积公式。
2. 避坑指南：

• 第三问中，如果利用常规割补法，在计算四棱锥体积时容易因为复杂的底面积和高而发生算术笔误。强烈推荐直接调用“直三棱柱截体体积等于底面积乘平均高度”这一高考二级母题结论。一秒即可算出答案为 $\frac{3}{2}$，高效且绝不出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间点线面的位置关系（线面平行）、二面角（平面角）的求解，是江西卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（传统几何法与等价变换、空间直角坐标系向量法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：空间点线面的位置关系（线面平行）、二面角（平面角）的求解相互关联，解答中综合运用了传统几何法与等价变换、空间直角坐标系向量法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷理-20 解-线面平行与二面角
• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角