2007-浙江卷文-21 解-椭圆弦长与面积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 如图，直线 $y=kx+b$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 交于 $A$，$B$ 两点，记 $△AOB$ 的面积为 $S$． （1）求在 $k=0$，$0<b<1$ 的条件下，$S$ 的最大值； （2）当 $|AB|=2$，$S=1$ 时，求直线 $AB$ 的方程． 第 21 题图

🔍【思路分析】

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1. （1）$k=0$ 时 $|AB|=4\sqrt{1-b^2}$，高为 $b$，$S=2b\sqrt{1-b^2}$；平方用均值不等式 $4b^2(1-b^2)⩽1$。
2. （2）$S=\frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1$ 得 $b^2=k^2+1$。
3. 联立消元得二次方程，判别式 $\Delta =4k^2+1-b^2$，弦长 $|AB|=\frac{\sqrt{\Delta }\sqrt{1+k^2}}{k^2+\frac{1}{4}}$；代入 $|AB|=2$ 与 $b^2=k^2+1$ 解 $k$。

✅【答案】

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（1）$S_{\max }=1$（$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取到）；（2）$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$（四个组合，正负号相互独立）

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $k=0$ 时，直线为 $y=b$．由椭圆方程得交点的横坐标为 $x=\pm 2\sqrt{1-b^2}$，所以 $|AB|=4\sqrt{1-b^2}$． 三角形 $AOB$ 的高为 $b$，故 $S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{1-b^2}\cdot b=2b\sqrt{1-b^2}.$ 因为 $0<b<1$，有 $S^2=4b^2\left(1-b^2\right)⩽{\left(2b^2+1-2b^2\right)}^2=1,$ 当且仅当 $b^2=1-b^2$，即 $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号．所以 $S$ 的最大值为 $1$． （2）直线 $y=kx+b$ 到原点的距离为 $\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}$．由 $|AB|=2$ 和 $S=1$，得 $\frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1,\text{即}{b}^2=k^2+1.$ 将直线方程代入椭圆方程，得交点横坐标满足 $\left(k^2+\frac{1}{4}\right)x^2+2kbx+b^2-1=0.$ 设此方程的两根为 $x_1$，$x_2$，则 $|AB|=|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}$，且其判别式为 $\Delta =(2kb{)}^2-4\left(k^2+\frac{1}{4}\right)\left(b^2-1\right)=4k^2+1-b^2.$ 所以 $|AB|=\frac{\sqrt{4k^2+1-b^2}\sqrt{1+k^2}}{k^2+\frac{1}{4}}.$ 代入 $b^2=k^2+1$ 及 $|AB|=2$，得 $2=\frac{\sqrt{3k^2}\sqrt{1+k^2}}{k^2+\frac{1}{4}}.$ 两边平方并整理，得 $3k^2\left(1+k^2\right)=4{\left(k^2+\frac{1}{4}\right)}^2,{\left(k^2-\frac{1}{2}\right)}^2=0,$ 因此 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，且 $b=\pm \sqrt{1+k^2}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$．这些取值均满足原条件，故直线 $AB$ 为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\pm \frac{\sqrt{6}}{2},$ 其中两个符号相互独立．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆弦长与面积

核心方法：弦长 $|AB|=\frac{\sqrt{\Delta }\sqrt{1+k^2}}{k^2+\frac{1}{4}}$；点线距表高；条件联立消元

避坑指南：判别式 $\Delta =4k^2+1-b^2$ 展开时 $b^2-1$ 与 $k^2+\frac{1}{4}$ 相乘别漏项；解出 $k,b$ 后要代回检验原条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆相交的面积/弦长综合是圆锥曲线解答题标准形态

结论推广：$k=0$ 的特殊情形先用均值不等式热身；一般情形弦长公式 + 点线距联立

方法推广：本题（2）两条件 $|AB|=2$、$S=1$ 恰好定出 $b^2=k^2+1$，是”条件恰好解干”的设计；推广到 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 可得参数化结论

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷I文-22 解-椭圆垂直弦与四边形面积最值
• 2008-大纲卷II文-22 解-椭圆直线交点与面积最值
• 2008-新课标卷文-15 填-椭圆弦三角形面积
• 2008-安徽卷文-22 解-椭圆焦点弦最值