2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与直角三角形特征的综合应用。解题核心在于通过直角三角形斜边中线定理确定准线上动点 $P$ 到原点的距离，再利用两点间距离公式将未知的线段乘积条件转化为关于双曲线基本量 $a,b,c$ 的齐次方程，从而求解离心率。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 是准线上一点，且 $P{F}_1\perp P{F}_2$， $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=4ab$，则双曲线的离心率是()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 由 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 知 $△F_{1}P{F}_2$ 是以 $F_1{F}_2$ 为斜边的直角三角形，利用斜边中线定理可得 $|OP|=c$；
2. 设出点 $P$ 在准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 上的坐标，结合 $|OP{|}^2=c^2$ 表示出点 $P$ 的纵坐标平方 $y_0^2$；
3. 用两点间距离公式分别表示出 $|P{F}_1{|}^2$ 和 $|P{F}_2{|}^2$，联立已知条件 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=4ab$ 构建关于 $a,b,c$ 的方程，进而解出离心率 $e$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 双曲线的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，则 $|F_1{F}_2|=2c$。 由对称性，不妨设点 $P$ 在右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 上，设其坐标为 $P\left(\frac{a^2}{c},y_0\right)$。 因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$，所以 $△F_{1}P{F}_2$ 是直角三角形， 根据直角三角形斜边中线定理，斜边 $F_1{F}_2$ 的中点（即坐标原点 $O$）到直角顶点 $P$ 的距离等于斜边的一半： $|OP|=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|=c⟹|OP{|}^2=c^2$ 代入点 $P$ 的坐标得： ${\left(\frac{a^2}{c}\right)}^2+y_0^2=c^2⟹y_0^2=c^2-\frac{a^4}{c^2}$

利用两点间距离公式分别求出 $|P{F}_1{|}^2$ 和 $|P{F}_2{|}^2$： $|P{F}_1{|}^2={\left(\frac{a^2}{c}+c\right)}^2+y_0^2=\frac{a^4}{c^2}+2a^2+c^2+\left(c^2-\frac{a^4}{c^2}\right)=2c^2+2a^2$ $|P{F}_2{|}^2={\left(\frac{a^2}{c}-c\right)}^2+y_0^2=\frac{a^4}{c^2}-2a^2+c^2+\left(c^2-\frac{a^4}{c^2}\right)=2c^2-2a^2$ 由此可得线段乘积的平方为： $(|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|{)}^2=(2c^2+2a^2)(2c^2-2a^2)=4(c^4-a^4)$ 又已知 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=4ab$，两边平方得 $(|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|{)}^2=16a^2{b}^2$。 因此有： $4(c^4-a^4)=16a^2{b}^2⟹c^4-a^4=4a^2{b}^2$ 将双曲线关系式 $b^2=c^2-a^2$ 代入上式： $c^4-a^4=4a^2(c^2-a^2)$ $(c^2-a^2)(c^2+a^2)=4a^2(c^2-a^2)$ 因为 $c>a>0$，所以 $c^2-a^2\ne 0$，两边约去 $(c^2-a^2)$ 得： $c^2+a^2=4a^2⟹c^2=3a^2$ 则离心率平方 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=3$，由于 $e>1$，解得 $e=\sqrt{3}$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线准线方程 $x=\pm \frac{a^2}{c}$、焦点坐标与直角三角形几何性质的交汇。
2. 核心方法：几何特征转化法。利用 $|OP|=c$ 快速绕开复杂的斜率乘积计算，直接锁定点 $P$ 纵坐标的代数表达。
3. 避坑指南：直接联立两直线斜率 $k_{P{F}_1}\cdot k_{P{F}_2}=-1$ 展开化简项数较多，运算极易出错。通过圆的几何性质（直径所对的圆周角是直角）转化为距离公式能大幅精简代数运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线外接特殊圆的性质，源于经典几何学中关于圆锥曲线准线与焦半径张角的理论定理。
2. 结论推广：对于标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，以焦距 $F_1{F}_2$ 为直径的圆与两条准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$ 的 4 个交点 $P$，均恒满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。此时， 4 个交点对应的焦半径乘积满足固定关系 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=2b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-04 单-函数定义域
• 2018-全国卷II理-11 单-函数奇偶性