2013-大纲卷理-04 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，则函数 $f(2x+1)$ 的定义域为()

A. $(-1,1)$　　　B. $(-1,-\frac{1}{2})$　　　C. $(-1,0)$　　　D. $(\frac{1}{2},1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义域的概念：函数的定义域是指自变量 $x$ 的取值范围。
2. 确定核心规则：对于同一个函数符号 $f$，其括号内整体的取值范围是固定的。
   • 已知 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，意味着只要是 $f(\dots )$，括号里的“$\dots$”就必须在 $(-1,0)$ 之间。
3. 建立不等式：对于新函数 $f(2x+1)$，令其内部整体 $2x+1$ 满足原函数的范围限制，即： $-1<2x+1<0$
4. 求解 $x$：解这个关于 $x$ 的简单不等式，所得的 $x$ 的范围即为新函数的定义域。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出不等式 由已知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，说明 $f(\text{某个量})$ 成立的前提是： $-1<\text{某个量}<0$

在函数 $f(2x+1)$ 中，这个“某个量”就是 $2x+1$。 因此，必须满足： $-1<2x+1<0$

第二步：解不等式组

1. 两边同时减去 $1$： $-1-1<2x<0-1$ $-2<2x<-1$

2. 两边同时除以 $2$： $\frac{-2}{2}<x<\frac{-1}{2}$ $-1<x<-\frac{1}{2}$

第三步：得出结论 自变量 $x$ 的取值范围是 $(-1,-\frac{1}{2})$，即函数 $f(2x+1)$ 的定义域为 $(-1,-\frac{1}{2})$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数 $f[g(x)]$ 的定义域由 $g(x)$ 的值域处于 $f(x)$ 的定义域内来决定。

核心方法：“整体代换法”。始终牢记括号内整体的范围是不变的，而定义域求的是 $x$。

避坑指南：- 容易混淆 $x$ 的范围和 $2x+1$ 的范围，误选 C。 - 解不等式时，注意变号规则（虽然本题除以的是正数 $2$，不需要变号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的值域、分式函数与对数函数的定义域限制。

结论推广：若已知 $f(g(x))$ 的定义域为 $D$，求 $f(x)$ 的定义域，则是求 $g(x)$ 在 $x\in D$ 时的值域。

方法推广：涉及抽象函数的定义域问题，均遵循“括号内范围相等”原则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-广东卷文-02 单-函数定义域