2007-湖北卷文-08 单-程序框图累加

本题导读

本题考查切线长，以及点与圆的位置。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 由直线 $y=x+1$ 上的一点向圆 $(x-3{)}^2+y^2=1$ 引切线，则切线长的最小值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{7}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 切线长 $L=\sqrt{d^2-r^2}$，$r=1$，$d$ 是该点到圆心 $(3,0)$ 的距离。
2. $d$ 最小 = 圆心到直线 $x-y+1=0$ 的距离 $=\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
3. $L_{\min }=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-1}=\sqrt{7}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设直线上的点为 $P$，切线长 $L=\sqrt{|PO{|}^2-r^2}$（$O(3,0)$ 为圆心，$r=1$）． $|PO|$ 的最小值即圆心到直线 $x-y+1=0$ 的距离：$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$（圆心到直线距离 $2\sqrt{2}>1$，直线与圆相离，垂足在直线上可取到）． 所以 $L_{\min }=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-1^2}=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图累加

核心方法：逐轮模拟循环变量与累加，识别终止条件

避坑指南：注意循环变量更新顺序与退出时机；等差/等比累加别数错项数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图循环累加，2007 新课标新增内容

结论推广：循环变量更新与终止条件识别

方法推广：框图题逐轮模拟最稳，关注退出时机

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

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