2007-湖北卷文-10 单-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查充分必要条件，以及逻辑推理。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 已知 $p$ 是 $r$ 的充分条件而不是必要条件，$q$ 是 $r$ 的充分条件，$s$ 是 $r$ 的必要条件，$q$ 是 $s$ 的必要条件．现有下列命题： ① $s$ 是 $q$ 的充要条件； ② $p$ 是 $q$ 的充分条件而不是必要条件； ③ $r$ 是 $q$ 的必要条件而不是充分条件； ④ $\neg p$ 是 $\neg s$ 的必要条件而不是充分条件； ⑤ $r$ 是 $s$ 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 ()

A. ①④⑤　　　　　　B. ①②④　　　　　　C. ②③⑤　　　　　　D. ②④⑤

🔍【思路分析】

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1. 梳理蕴含链：$q\to r$（q 是 r 充分）、$r\to s$（s 是 r 必要）、$s\to q$（q 是 s 必要）→ $r\to s\to q\to r$，三者等价。
2. $p\to r$ 且 $r\nrightarrow p$。
3. ① $s$ 与 $q$ 等价 ✓；② $p\to q$ ✓（经 $r$）、$q\nrightarrow p$ ✓；③ $r⟺q$，“必要而非充分”✗；④ $\neg p$ 是 $\neg s$ 的必要 $⟺p\to s$ ✓、充分 $⟺s\to p$ ✗ ✓；⑤ $r⟺s$，“充分而非必要”✗。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题设：$q\Rightarrow r$，$r\Rightarrow s$，$s\Rightarrow q$，构成环 $r\Rightarrow s\Rightarrow q\Rightarrow r$，故 $r$、$s$、$q$ 两两等价； 又 $p\Rightarrow r$ 且 $r\nRightarrow p$． ① $s$ 与 $q$ 等价，”$s$ 是 $q$ 的充要条件”正确； ② $p\Rightarrow r\Rightarrow q$，故 $p$ 是 $q$ 的充分条件；若 $q\Rightarrow p$ 则 $r\Rightarrow p$ 矛盾，故非必要，正确； ③ $r$ 与 $q$ 等价，”$r$ 是 $q$ 的必要条件而不是充分条件”错误（是充要）； ④ ”$\neg p$ 是 $\neg s$ 的必要条件”即 $\neg s\Rightarrow \neg p$，其逆否为 $p\Rightarrow s$，成立；“而不是充分”即 $\neg p\nRightarrow \neg s$，其逆否 $s\nRightarrow p$，成立，正确； ⑤ $r$ 与 $s$ 等价，“充分而不是必要”错误． 正确的是①②④，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换求值

核心方法：切化弦或用和差角公式化简目标式，代入已知值

避坑指南：$\tan$ 与 $\sin /\cos$ 互化要统一；注意角的范围定符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换求值，三角小题

结论推广：切化弦 + 和差角公式化简

方法推广：三角求值：先化简到单一角，再代入已知值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2007-福建卷文-04 单-充分必要条件
• 2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要
• 2007-天津卷文-06 单-空间位置关系命题
• 2008-安徽卷文-03 单-空间位置命题