2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要

本题导读

考查等比数列单调性的充要条件。首项大于 $0$ 时递增等价于公比 $q>1$，而 $a_1<a_2$ 即 $q>1$，二者等价，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是首项大于零的等比数列，则"$a_1<a_2$"是”数列 $\{a_n\}$ 是递增数列”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 设公比 $q$。$a_1>0$ 时，$a_n=a_1{q}^{n-1}$。
2. 递增 $⟺a_{n+1}-a_n=a_1{q}^{n-1}(q-1)>0$ 对一切 $n$ 成立。因 $a_1{q}^{n-1}>0$（$a_1>0$ 且 $q>0$），故等价于 $q>1$。
3. $a_1<a_2⟺a_1<a_{1}q⟺q>1$（$a_1>0$）。
4. 两者都是 $q>1$，等价。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$（$q>0$，因 $a_n$ 各项同号且递增需恒正）. 首项 $a_1>0$，则 $a_n=a_1{q}^{n-1}>0$. 数列递增 $⟺$ 对任意 $n$，$a_{n+1}-a_n=a_1{q}^{n-1}(q-1)>0$. 由于 $a_1{q}^{n-1}>0$，这等价于 $q>1$. 另一方面， $a_1<a_2⟺a_1<a_{1}q⟺q>1(a_1>0).$ 故"$a_1<a_2$"与”数列 $\{a_n\}$ 是递增数列”都等价于 $q>1$，二者互为充要条件. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列单调性的充要条件

核心方法：由 $a_1>0$ 把递增与 $a_1<a_2$ 都化到公比 $q$ 上比较

避坑指南：首项大于 $0$ 时递增等价于 $q>1$；$a_1<a_2$ 也是 $q>1$，二者等价，别误判成”仅充分”或”仅必要”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的单调性由首项符号与公比共同决定。

结论推广：$a_1>0$ 时：$q>1$ 递增、$0<q<1$ 递减；$a_1<0$ 时结论相反，公比必须 $q>0$。

方法推广：判断等比数列单调性先看 $a_1$ 正负，再看 $q$ 与 $1$ 的大小，两步缺一不可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量
• 2011-辽宁卷文-05 单-等比数列公比符号
• 2012-安徽卷文-05 单-等比数列中项性质
• 2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比