2007-湖北卷文-20 解-隔项等比数列

本题导读

本题考查等比数列。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n>0$，$b_n=\sqrt{a_n{a}_{n+1}}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），且 $\{b_n\}$ 是以 $q$ 为公比的等比数列． （1）证明：$a_{n+2}=a_n{q}^2$； （2）若 $c_n=a_{2n-1}+2a_{2n}$，证明数列 $\{c_n\}$ 是等比数列； （3）求和：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\cdots +\frac{1}{a_{2n-1}}+\frac{1}{a_{2n}}$．

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$b_{n+1}=q{b}_n$ 平方：$a_{n+1}{a}_{n+2}=q^2{a}_n{a}_{n+1}$，约去 $a_{n+1}>0$。 （2）$c_{n+1}=a_{2n+1}+2a_{2n+2}=q^2(a_{2n-1}+2a_{2n})=q^2{c}_n$，$c_1=a_1+2a_2=5$。 （3）奇数项 $a_{2k-1}=q^{2k-2}$、偶数项 $a_{2k}=2q^{2k-2}$；每对 $\frac{1}{a_{2k-1}}+\frac{1}{a_{2k}}=\frac{3}{2}{q}^{2-2k}$，再对 $k$ 求等比和。

✅【答案】

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（2）$\{c_n\}$ 首项 $5$、公比 $q^2$；（3）$q^2\ne 1$ 时和为 $\frac{3(q^{2n}-1)}{2q^{2n-2}(q^2-1)}$，$q^2=1$ 时为 $\frac{3n}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\{b_n\}$ 是公比 $q$ 的等比数列：$b_{n+1}=q{b}_n$．两边平方 $a_{n+1}{a}_{n+2}=q^2{a}_n{a}_{n+1},$ 由 $a_{n+1}>0$ 约去得 $a_{n+2}=a_n{q}^2$． （2）$c_{n+1}=a_{2n+1}+2a_{2n+2}$，由（1）$a_{2n+1}=a_{2n-1}{q}^2$，$a_{2n+2}=a_{2n}{q}^2$， 故 $c_{n+1}=q^2(a_{2n-1}+2a_{2n})=q^2{c}_n$，且 $c_1=a_1+2a_2=1+4=5\ne 0$． 所以 $\{c_n\}$ 是首项为 $5$、公比为 $q^2$ 的等比数列． （3）由（1）逐层展开：$a_{2k-1}=a_1{q}^{2k-2}=q^{2k-2}$，$a_{2k}=a_2{q}^{2k-2}=2q^{2k-2}$． $\frac{1}{a_{2k-1}}+\frac{1}{a_{2k}}=\frac{1}{q^{2k-2}}+\frac{1}{2q^{2k-2}}=\frac{3}{2}{q}^{2-2k}.$ 当 $q^2\ne 1$ 时，原式 $=\frac{3}{2}{\sum }_{k=1}^n{q}^{2-2k}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1-q^{-2n}}{1-q^{-2}}=\frac{3(q^{2n}-1)}{2q^{2n-2}(q^2-1)}$； 当 $q^2=1$ 时，每对和为 $\frac{3}{2}$，总和为 $\frac{3n}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：隔项等比数列

核心方法：隔项成等比：$a_{n+2}=a_n{q}^2$，分奇偶两组各自等比求和

避坑指南：隔项等比公比是 $q^2$ 不是 $q$；首项要分别取 $a_1$ 与 $a_2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：隔项等比数列，数列综合题

结论推广：$a_{n+2}=a_n{q}^2$ 分奇偶求和

方法推广：隔项数列：公比取 $q^2$，首项分奇偶

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-17 解-等比数列通项与分类讨论
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2007-江西卷文-21 解-等比数列与交错求和
• 2008-辽宁卷文-20 解-等比数列商与求和