2009-山东卷文-20 解-等比数列求和

本题导读

考查数列综合。$r=-1$；$b=2$ 时 $a_n=2^{n-1}$，$b_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}$，错位相减得 $T_n=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，点 $(n,S_n)$ 均在函数 $y=bx+r$（$b>0$ 且 $b\ne 1$，$b$，$r$ 均为常数）的图象上.

(1)求 $r$ 的值；

(2)当 $b=2$ 时，记 $b_n=\frac{n+1}{4a_n}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=b^{n-1}(b-1)$，公比 $q=\frac{a_3}{a_2}=b$；又 $a_1=S_1=b+r$，由 $a_2=b{a}_1$ 得 $b(b-1)=b(b+r)$，故 $r=-1$。
2. (2) $b=2$ 时 $S_n=2^n-1$，$a_n=2^{n-1}$，$b_n=\frac{n+1}{4\cdot 2^{n-1}}=\frac{n+1}{2^{n+1}}$。
3. $T_n=\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k+1}}=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^{k+1}}+\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k+1}}$。
4. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}$；对 $\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^{k+1}}$ 错位相减（乘 $2$ 作差）得 $1-\frac{n+2}{2^{n+1}}$。
5. 合并 $T_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$。

✅【答案】

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(1) $r=-1$；(2)$T_n=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）对 $n⩾2$，由 $S_n=bx+r$ 得 $a_n=S_n-S_{n-1}=b^n+r-(b^{n-1}+r)=b^{n-1}(b-1)$。 特别地 $a_2=b(b-1)$，$a_3=b^2(b-1)$，故等比数列的公比为 $q=\frac{a_3}{a_2}=b$。 又 $a_1=S_1=b+r$，由 $a_2=q{a}_1=b{a}_1$，得 $b(b-1)=b(b+r)$。 因为 $b>0$，两边约去 $b$ 得 $b-1=b+r$，所以 $r=-1$。 （2）当 $b=2$ 时，$S_n=2^n-1$，故 $a_1=S_1=1$，且对 $n⩾2$，$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}$，即对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_n=2^{n-1}$。 于是 $b_n=\frac{n+1}{4a_n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}$。 $T_n=\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k+1}}=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^{k+1}}+\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k+1}}$。 记 $U_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^{k+1}}$，则 $2U_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\sum _{j=0}^{n-1}\frac{j+1}{2^j}$， 两式错位相减：$U_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}$（验证：$n=1$ 时 $U_1=\frac{1}{4}$，公式给 $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$）。 又 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}$。 所以 $T_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$。 （验证：$n=1$ 时 $T_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，公式给 $\frac{3}{2}-\frac{4}{4}=\frac{1}{2}$；$n=2$ 时 $T_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$，公式给 $\frac{3}{2}-\frac{5}{8}=\frac{7}{8}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与错位相减

核心方法：$S_n=bx+r$ 作差得 $a_n$，比较公比定 $r$；等差 $\times$ 等比用错位相减

避坑指南：$a_2=b(b-1)$，$a_3=b^2(b-1)$，公比 $b$；$a_2=b{a}_1$ 给 $r=-1$；$b_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}$，$T_n=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由 $S_n$ 求 $a_n$ 时 $n=1$ 要单独处理并检验能否并成一个式子。

结论推广：错位相减的差式公比是 $b$，$b=2$ 时乘 $2$ 作差最顺手。

方法推广：求和结果用 $n=1$，$2$ 代入验证：$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$，全部吻合才收笔。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和
• 2009-江苏卷-14 填-等比数列四项链