2007-湖北卷理-02 单-向量平移几何变换

本题导读

本题考查三角函数图象在向量平移变换下的解析式重构。通过将向量平移分解为横向与纵向两个独立的分量运动，利用函数平移的代数变换规律直接求解。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 将 $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象按向量 $\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{4},-2\right)$ 平移，则平移后所得图象的解析式为()

A. $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}\right)-2$　　　　　　　　　　B. $y=2\cos \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{4}\right)+2$

C. $y=2\cos \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{12}\right)-2$　　　　　　　　　D. $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{12}\right)+2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 剖析向量平移的物理内涵：

• 向量 $\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{4},-2\right)$ 意味着：
• 横向：向 $x$ 轴负方向（向左）平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位；
• 纵向：向 $y$ 轴负方向（向下）平移 $2$ 个单位。

2. 应用函数平移代数准则：

• 向左平移 $\frac{\pi }{4}$：将解析式中所有的 $x$ 严格整体替换为 $\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$；
• 向下平移 $2$：在整个函数解析式末尾直接 $-2$。

3. 化简多项式整体角：展开括号并合并常数项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：按向量 $\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{4},-2\right)$ 进行平移，根据空间几何变换与函数解析式演变规律：

• 横向分量为 $-\frac{\pi }{4}$，表示将原图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，代数上需要用 $\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 整体替代原解析式中的 $x$；
• 纵向分量为 $-2$，表示将原图象沿 $y$ 轴向下平移 $2$ 个单位，代数上需要将整个函数解析式末尾直接减去 $2$。

将此变换准则实施到原函数 $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}\right)$ 中： $y=2\cos \left[\frac{1}{3}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{6}\right]-2$

展开括号内部的复合角多项式： $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)-2$ 将两个常数角度进行通分并合并： $\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$

代回可得最终化简后的解析式为： $y=2\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}\right)-2$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平移向量与函数变换的对应关系、函数平移中“只对自变量 $x$ 自身进行加减”的红线法则。
2. 核心方法：自变量整体代换法。
3. 避坑指南：

• 本题最高发的极品盲区在于错将加减号直接作用在外层。很多同学容易错误地写成 $\frac{x}{3}+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}$， 这会导致直接误选。必须时刻牢记：任何横向平移， 必须用括号把 $x$ 独立罩住，即 $\frac{1}{3}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$， 才能确保频率参数 $\frac{1}{3}$ 能够正确作用到平移量上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的图象平移、向量的平移几何变换是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是三角函数的图象平移、向量的平移几何变换的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用“左加右减，上加下减”代换法、整体角变代换法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-05 单-三角函数
• 2008-浙江卷文-07 单-三角图象交点
• 2009-大纲卷II理-08 单-三角函数