2007-湖北卷理-06 单-等比数列定义性质

本题导读

本题考查新定义数列、等比数列概念以及充要条件的判定。核心在于分析“等方比数列”与“等比数列”这两个逻辑集合之间的包含与被包含关系。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=p$ ($p$ 为正常数, $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$), 则称 $\left\{a_n\right\}$ 为“等方比数列”. 甲: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等方比数列; 乙: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列, 则()

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定甲 $⟹$ 乙 的真伪（充分性）：

• 已知 $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=p⟹\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\sqrt{p}$。
• 构造反例：若数列为 $1,-1,1,-1,\dots$， 其公比为 $-1$， 此时是等比数列，平方比也恒为 1。
• 换一个反例：若数列为 $1,1,-1,-1,1,1,\dots$。其相邻项的比值为 $1,-1,1,-1,\dots$， 不是常数， 故不是等比数列；但其平方比恒为 1， 符合甲。这说明甲 $⟹$ 乙不成立（充分性不成立）。

2. 判定 乙 $⟹$ 甲 的真伪（必要性）：

• 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，则满足 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ （ $q$ 为非零常数）。
• 两边平方： $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=q^2$。由于 $q\ne 0⟹q^2>0$， 恒为正常数 $p$。
• 这说明乙 $⟹$ 甲成立（必要性成立）。

3. 综合结论：甲是乙的必要不充分条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：对甲、乙两个命题进行双向逻辑推演：

• 第一步：检验充分性（甲 $⟹$ 乙） 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等方比数列，则满足 $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=p$ ($p>0$)， 可得 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\pm \sqrt{p}$。 我们可以构造一个正负交替变化的特殊符号数列： $\left\{a_n\right\}:1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,\dots$ 计算其相邻项的平方比： $\frac{1^2}{1^2}=1,\frac{(-1{)}^2}{1^2}=1,\frac{(-1{)}^2}{(-1{)}^2}=1$， 恒为常数 1， 故满足甲命题； 然而计算其相邻项的比值： $\frac{a_2}{a_1}=1,\frac{a_3}{a_2}=-1$， 比值并不恒定， 故该数列不是等比数列， 乙命题不成立。 因此， 甲 $⟹$ 乙 为假， 充分性不成立。

• 第二步：检验必要性（乙 $⟹$ 甲） 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，根据等比数列的定义， 存在非零常数 $q$ 使得： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ 对等式两边同时进行平方： $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=q^2$ 因为 $q\ne 0$， 所以其平方项 $q^2$ 必然是一个恒定的正常数。令 $p=q^2$， 这完全符合等方比数列的定义， 甲命题必然成立。 因此， 乙 $⟹$ 甲 为真， 必要性成立。

综上所述，甲是乙的必要条件但不是充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列严格定义、平方根带来的双重符号不确定性。
2. 核心方法：特殊符号数列反例法。
3. 避坑指南：

• 很多同学因直觉认为 $\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=p⟹\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{p}$， 误判充分性成立而错选 C。牢记开平方必带正负号 $\pm$， 只要有正负号的游离性， 就能构造出非等比的乱序数列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充分必要条件的判定、新定义数列（等方比数列）是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是充分必要条件的判定、新定义数列（等方比数列）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用构造反例排除法、概念性质分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-13 单-线面垂直充要条件
• 2008-上海卷文-15 单-优于新定义劣弧
• 2008-北京卷理-03 单-函数