2013-北京卷文-20 解-数列新定义

本题导读

本题考查数列的新定义。核心在于新定义显式化、单调性定与的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 给定数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，对 $i=1$，$2$，$\cdots$，$n-1$，该数列前 $i$ 项的最大值记为 $A_i$，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}$，$a_{i+2}$，$\cdots$，$a_n$ 的最小值记为 $B_i$，$d_i=A_i-B_i$.

(1)设数列 $\{a_n\}$ 为 $3$，$4$，$7$，$1$，写出 $d_1$，$d_2$，$d_3$ 的值;

(2)设 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$（$n⩾4$）是公比大于 $1$ 的等比数列，且 $a_1>0$. 证明：$d_1$，$d_2$，$\cdots$，$d_{n-1}$ 是等比数列;

(3)设 $d_1$，$d_2$，$\cdots$，$d_{n-1}$ 是公差大于 $0$ 的等差数列，且 $d_1>0$. 证明：$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{n-1}$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 逐个算：$A_1=3$、$B_1=1$；$A_2=4$、$B_2=1$；$A_3=7$、$B_3=1$。
2. (2) $q>1$、$a_1>0$ → 数列递增 → $d_i=a_i-a_{i+1}=a_1{q}^{i-1}(1-q)$，$\frac{d_{i+1}}{d_i}=q$。
3. (3) 反证递增（最小下标 $k$ 处 $a_k⩽a_{k-1}$ 与 $d_{k-1}<d_k$ 矛盾）；再由 $d_1>0$ 推 $a_n<a_1$，$B_i=a_n$，$a_i=a_n+d_i$。

✅【答案】

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(1) $d_1=2$，$d_2=3$，$d_3=6$；(2)(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $i=1$ 时，$A_1=3$，$B_1=\min \{4,7,1\}=1$，所以 $d_1=3-1=2$。 当 $i=2$ 时，$A_2=\max \{3,4\}=4$，$B_2=\min \{7,1\}=1$，所以 $d_2=4-1=3$。 当 $i=3$ 时，$A_3=\max \{3,4,7\}=7$，$B_3=1$，所以 $d_3=7-1=6$。 (2) 设等比数列的公比为 $q$。因为 $a_1>0$ 且 $q>1$，所以 $a_i=a_1{q}^{i-1}$ 且 $a_1<a_2<\cdots <a_n$。 因而对 $i=1,2,\cdots ,n-1$，有 $A_i=a_i$，$B_i=a_{i+1}$，从而 $d_i=a_i-a_{i+1}=a_1{q}^{i-1}(1-q).$ 于是对 $i=1,2,\cdots ,n-2$，$d_i\ne 0$，且 $\frac{d_{i+1}}{d_i}=q$ 为常数，所以 $d_1,d_2,\cdots ,d_{n-1}$ 是等比数列。 (3) 设 $d_1,d_2,\cdots ,d_{n-1}$ 的公差为 $d$，则 $d>0$，从而 $d_1<d_2<\cdots <d_{n-1}$。若 $n=2$，则 $a_1$ 单独成”前 $1$ 项”，单元素数列按定义是等差数列，结论成立。以下设 $n⩾3$。 先证 $a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1}$ 递增。若不然，设 $k$ 是满足 $2⩽k⩽n-1$ 且 $a_k⩽a_{k-1}$ 的最小下标。由 $a_1<a_2<\cdots <a_{k-1}$，得 $A_k=A_{k-1}=a_{k-1}$。又因为 $B_{k-1}=\min \{a_k,\cdots ,a_n\}⩽B_k=\min \{a_{k+1},\cdots ,a_n\},$ 所以 $d_{k-1}=A_{k-1}-B_{k-1}⩾A_k-B_k=d_k,$ 这与 $d_{k-1}<d_k$ 矛盾。因此 $a_1<a_2<\cdots <a_{n-1}$。 由 $d_1>0$ 及 $A_1=a_1$，得 $B_1=A_1-d_1=a_1-d_1<a_1$。但 $a_2,a_3,\cdots ,a_{n-1}$ 都大于 $a_1$，而 $B_1$ 是 $a_2,a_3,\cdots ,a_n$ 的最小值，所以必有 $a_n<a_1$。因而对任意 $i=1,2,\cdots ,n-1$，有 $A_i=a_i$，$B_i=a_n$，从而 $a_i=a_n+d_i.$ 由于 $d_i$ 是等差数列，故 $a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1}$ 也是等差数列，且公差为 $d$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列新定义（前段最大值与后段最小值之差）

核心方法：(1) 直接算：$A_i$ 取前 $i$ 项最大、$B_i$ 取后段最小 → $d_1=2$、$d_2=3$、$d_3=6$；(2) 递增等比 → $A_i=a_i$、$B_i=a_{i+1}$ → $d_i=a_1{q}^{i-1}(1-q)$；(3) 反证递增 → $A_i=a_i$，再由 $d_1>0$ 推 $a_n<a_1$ → $B_i=a_n$ → $a_i=a_n+d_i$ 为等差

避坑指南：新定义题先吃透定义再动笔：$d_i$ 的本质是”前段最大”与”后段最小”的落差；(3) 中”$d_i$ 递增 ⇒ $a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 递增”要用最小下标反证，且 $d_1>0$ 暗藏 $a_n$ 比 $a_1$ 还小这一关键事实（$B_1<a_1$ 而其余项都大于 $a_1$，只能 $a_n$ 兜底）——漏掉它 $B_i=a_n$ 就出不来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列新定义与推理证明（北京卷压轴特色题型）。

结论推广：$A_i=\max \{a_1,\cdots ,a_i\}$，$B_i=\min \{a_{i+1},\cdots ,a_n\}$，$d_i=A_i-B_i$；递增数列中 $A_i=a_i$；$B_1=A_1-d_1=a_1-d_1<a_1$ 迫使 $a_n<a_1$。

方法推广：新定义证明题三板斧：特例验证吃透定义 → 由单调性把 $A_i$、$B_i$ 显式化 → 反证法处理”若不然”，用最小下标定位第一个反例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-北京卷理-20 解-反证法与无穷递降法
• 2007-湖北卷理-06 单-等比数列定义性质