2007-湖北卷理-13 填-目标函数最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组构成平面可行域的线性规划最值问题。核心在于在平面直角坐标系中精确绘出可行域的多边形边界，通过分析目标函数的几何截距意义，锁定取得极值的顶点坐标代入求解。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+3\ge 0\\ x+y\ge 0\\ -2\le x\le 3\end{array}$ ，则目标函数 $2x+y$ 的最小值为________。

🔍【思路分析】

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1. 绘制可行域平面交集：

• 直线 $x-y+3=0⟹y=x+3$， 取其下方区域。
• 直线 $x+y=0⟹y=-x$， 取其上方区域。
• 竖直平行边界线： $x=-2$ 与 $x=3$ 之间。

2. 求解可行域的各关键顶点：

• 联立各边界方程， 锁定左侧、下方等可能取得最小值的顶点坐标。特别注意左边界 $x=-2$ 的交点。

3. 分析目标函数的截距几何意义：

• 令 $z=2x+y⟹y=-2x+z$。

• $z$ 代表直线在 $y$ 轴上的截距。当直线向左下方平行移动时， 截距 $z$ 逐渐减小。

• 在图象上将斜率为 $-2$ 的动态直线自左向右下平移， 触碰到可行域的第一个顶点即为最小值点。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

解：在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将约束条件中各不等式所指示的半平面区域进行叠合绘制：

1. $x-y+3\ge 0⟹y\le x+3$， 直线 $y=x+3$ 及其右下方区域；

2. $x+y\ge 0⟹y\ge -x$， 直线 $y=-x$ 及其右上方区域；

3. $-2\le x\le 3$， 夹在两条垂直竖直线 $x=-2$ 与 $x=3$ 之间的条带状区域。

上述三个区域的公共交集构成一个无漏的封闭凸多边形（四边形）可行域。

令目标函数为 $z=2x+y$， 变形将其写为直线的斜截式方程形式： $y=-2x+z$ 该方程在几何学上严格代表一条斜率固定为 $-2$、在 $y$ 轴上截距为 $z$ 的动态平行直线系。 显然， 当该直线向左下方平行流转移动时， 纵截距 $z$ 随之连续变小。要使目标函数取得极小值， 直线必须平移至触碰该可行域的最左下角边缘顶点。

观察并计算可行域最左侧边界上的顶点： 将左边界竖直线 $x=-2$ 分别与另外两条倾斜边界线联立求交点：

• 与 $y=-x$ 联立：得交点 $M(-2,2)$；
• 与 $y=x+3$ 联立：得交点 $N(-2,1)$。

比较两个可能顶点的目标函数值，或通过斜率比对判定： 动态目标直线斜率为 $-2$， 边界线 $y=-x$ 的斜率为 $-1$， 显然目标直线比边界线更陡峭。 当动态直线自左向右平移时， 必然在交点 $M(-2,2)$ 处首次冲入可行域。 将顶点 $M(-2,2)$ 的坐标直接代入目标函数公式中： $z_{\text{min}}=2\times (-2)+2=-4+2=-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域无漏绘制、目标函数 $z=Ax+By$ 的截距几何平移法。
2. 核心方法：数形结合图解法、顶点代入核验法。
3. 避坑指南：

• 解线性规划题， 绝对不能偷懒不画草图。
• 很多同学因不画图， 盲目联立 $x-y+3=0$ 与 $x+y=0$ 解出交点 $\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ 误认为是最小值点代入算出 $-1.5$， 从而完美掉入陷阱。
• 必须要老老实实在草稿纸上画出三线交界， 准确锁定最左侧 $x=-2$ 与 $y=-x$ 交出的端点 $(-2,2)$ 才是真正的极限下界点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单线性规划、二元一次不等式组与可行域是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是简单线性规划、二元一次不等式组与可行域的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用图解法（可行域数形结合）、顶点平移截距法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2010-湖北卷文-12 填-线性规划求最值
• 2011-新课标卷理-13 填-线性规划