2007-湖北卷理-14 填-二项分布概率公式

本题导读

本题考查独立重复试验中二项分布概率的计算。每次投球相互独立，投球 10 次恰好投进 3 次符合标准的二项分布模型。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 某男运动员在三分线投球的命中率是 $\frac{1}{2}$，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率________。（用数值作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别数模模型：本题属于 $n=10$ 次独立重复试验，单次成功概率 $p=\frac{1}{2}$。

2. 运用二项分布公式：恰好投进 $k=3$ 个球的概率为 $P(X=3)={\text{C}}_{10}^3{p}^3(1-p{)}^{10-3}$。

3. 计算具体数值：展开组合数与指数幂，化简为最简分数或小数。

✅【答案】

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$\frac{15}{128}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设该运动员投进球的个数为随机变量 $X$，由于每次投球相互独立且命中率恒为 $p=\frac{1}{2}$， 因此 $X$ 服从参数为 $n=10$ 和 $p=\frac{1}{2}$ 的二项分布，即 $X\sim \text{B}\left(10,\frac{1}{2}\right)$。

根据二项分布概率计算公式，恰好投进 3 个球的概率为： $P(X=3)={\text{C}}_{10}^3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\times {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{10-3}$ $P(X=3)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^7$ $P(X=3)=120\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{120}{1024}$ 分子与分母同时约去公因数 8， 化简为最简分数： $P(X=3)=\frac{15}{128}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布公式 $P(X=k)={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。
2. 核心方法：模型直接代入法。
3. 避坑指南：

• 注意二项式系数 ${\text{C}}_{10}^3=120$ 与 $2^{10}=1024$ 的化简，题目要求用数值作答，不能保留组合数记号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验（伯努利试验）、二项分布的概率公式是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是独立重复试验（伯努利试验）、二项分布的概率公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用公式直接代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率
• 2014-新课标II卷文-13 填-古典概型
• 2017-全国卷II理-13 填-二项分布