2007-湖北卷理-15 填-正比例函数模型构建

本题导读

本题考查指数函数与正比例函数构成的分段函数实际应用题。第一问通过图象给出的拐点坐标分别确定正比例函数与指数函数中的未知常数；第二问通过建立指数不等式，计算出药物浓度稀释到安全线下时所需的时间。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 为了预防流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 $y$（毫克）与时间 $t$（小时）成正比；药物释放完毕后，$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-a}$ ($a$ 为常数)，如图所示. 根据图中提供的信息，回答下列问题:

(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 $y$（毫克）与时间 $t$（小时）之间的函数关系式为________；

(2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.

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(1) $y=\{\begin{array}{l}10t,(0\le t\le 0.1)\\ {\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-0.1},(t>0.1)\end{array}$ ； (2) $0.6$

✍【详细解析】

Abstract

• 观察图象可知，最高峰顶点（即拐点）的精确坐标为 $(0.1,1)$。
• 后半段指数函数 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-a}$ 经过点 $(0.1,1)$。代入可解得常数 $a=0.1$。
• 前半段为正比例函数， 设为 $y=kt$。同样经过该最高点 $(0.1,1)$。代入解得 $1=k\times 0.1⟹k=10$。
• 依据时间轴拼接出分段函数。

2. 第二问：解不等式求安全时间：

• 药量降低到 0.25 毫克以下必然发生在药物释放完毕后的衰减阶段（即 $t\ge 0.1$）。

• 代入解析式建立不等式： ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-0.1}\le 0.25$。

• 将 0.25 和 $\frac{1}{16}$ 统一化为以 2 或 4 为底数的同底数幂不等式， 解出 $t$ 的最小值。

✍ 〖详细解析〗

解：(1) 观察给出的动态曲线图象可知，正比例直线段与指数曲线段在最高点处交汇，该拐点的精确坐标为： $(0.1,1)$

• 前半段（ $0\le t\le 0.1$）： 室内含药量 $y$ 与时间 $t$ 成正比，设其解析式为 $y=kt$ ($k\ne 0$)。 将交点坐标 $(0.1,1)$ 代入方程中： $1=k\times 0.1⟹k=10$ 故前半段解析式为 $y=10t$。

• 后半段（ $t>0.1$）： 已知函数关系式为 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-a}$。 将交点坐标 $(0.1,1)$ 代入方程中： $1={\left(\frac{1}{16}\right)}^{0.1-a}$ 根据指数性质， 任何非零常数的 0 次幂等于 1， 故指数部分必须严格为 0： $0.1-a=0⟹a=0.1$ 故后半段解析式为 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-0.1}$。

综合两个区间，含药量 $y$ 与时间 $t$ 的完整分段函数关系式为： $y=\{\begin{array}{l}10t,(0\le t\le 0.1)\\ {\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-0.1},(t>0.1)\end{array}$

(2) 根据题意，要求含药量 $y$ 降低到 $0.25$ 毫克以下。由图象单调性知，此阶段必然发生在药物释放完毕后的衰减期（即 $t>0.1$ 分支）。 建立关于时间 $t$ 的指数不等式： ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-0.1}\le 0.25$ 将不等式两侧的分数统一改写为以 $4$ 为底数的幂形式： 因为 $\frac{1}{16}=4^{-2}$， 且 $0.25=\frac{1}{4}=4^{-1}$，代入得： ${\left(4^{-2}\right)}^{t-0.1}\le 4^{-1}$ $4^{-2(t-0.1)}\le 4^{-1}$

由于底数 $4>1$， 指数函数单调递增， 不等号方向保持不变， 直接对指数多项式进行大小比较： $-2(t-0.1)\le -1$ 两边同除以负数 $-2$， 不等号方向发生反转： $t-0.1\ge \frac{1}{2}⟹t\ge 0.5+0.1⟹t\ge 0.6$

所以，自药物释放开始，至少需要经过 $0.6$ 小时后，学生才能回到教室。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数模型求法（待定系数法对接图象交点）、同底数指数不等式化简。
2. 核心方法：同底数化归法。
3. 避坑指南：

• 最终写分段函数解析式时，必须要严格在每一行后面缀上对应自变量 $t$ 的取值区间边界， 否则属于不规范解析。
• 解指数不等式 $-2(t-0.1)\le -1$ 时， 两边同时除以负数时千万不要漏掉调转不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数的实际应用、指数方程与不等式的解法是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是分段函数的实际应用、指数方程与不等式的解法的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用待定系数法求解析式、图象节点对齐分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2008-辽宁卷理-13 填-函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数