2007-湖北卷理-16 解-三角函数在闭区间上最值

本题导读

本题考查平面向量与三角函数的综合应用。第一问利用三角形面积公式与向量数量积公式建立联立关系，消去模长乘积从而转化为关于夹角 $\theta$ 的三角不等式；第二问利用倍角公式、降幂公式将目标函数化为单弦型结构， 结合第一问解出的定义域求解最值。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知 $△ABC$ 的面积为 3，且满足 $0\le \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\le 6$，设 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为 $\theta$.

(1) 求 $\theta$ 的取值范围；

(2) 求函数 $f(\theta )=2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)-\sqrt{3}\cos 2\theta$ 的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 由三角形面积公式有 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \sin \theta =3⟹|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|=\frac{6}{\sin \theta }$。
• 由向量数量积公式有 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos \theta =\frac{6\cos \theta }{\sin \theta }=6\cot \theta$。
• 代入已知不等式组 $0\le 6\cot \theta \le 6⟹0\le \cot \theta \le 1$。结合 $\theta \in (0,\pi )$ 解出范围。

2. 第二问：

• 利用二倍角降幂公式化简 $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)=1+\sin 2\theta$。

• 目标函数重组为 $f(\theta )=\sin 2\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta +1$。

• 引入辅助角公式（两角和与差公式）将其合并为 $2\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)+1$。

• 根据 $\theta$ 的取值范围锁定复合角 $2\theta -\frac{\pi }{3}$ 的边界区间，从而直出最值。

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函数 $f(\theta )$ 的最大值为 $3$，最小值为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）根据三角形面积计算公式： $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \sin \theta =3⟹|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|=\frac{6}{\sin \theta }\text{(1)}$ 因为 $\theta$ 是 $△ABC$ 的内角， 且面积不为 0， 故 $\sin \theta >0$。

依据平面向量数量积的数理定义： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos \theta \text{(2)}$ 将①式整体代入②式中以消去模长乘积项： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{6}{\sin \theta }\cdot \cos \theta =6\cot \theta$

将此代数代换式直接代入题干给出的核心不等式限制条件 $0\le \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\le 6$ 中： $0\le 6\cot \theta \le 6⟹0\le \cot \theta \le 1$

由于 $\theta \in (0,\pi )$， 结合余切函数 $y=\cot \theta$ 在直观数轴上的单调递减性质：

• 当 $\cot \theta \ge 0$ 时， $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$；
• 当 $\cot \theta \le 1$ 时， $\theta \in \left[\frac{\pi }{4},\pi \right)$。 取两者的公共交集区间， 得到夹角 $\theta$ 的精确取值范围为： $\theta \in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$

（2）首先对函数 $f(\theta )$ 的解析式进行降幂恒等变形。 运用余弦二倍角降幂公式 $2{\sin }^2\varphi =1-\cos 2\varphi$： $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=1-\cos \left(2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)\right)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)$ 根据诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$： $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=1-(-\sin 2\theta )=1+\sin 2\theta$

将此化简分量代回原函数解析式中： $f(\theta )=1+\sin 2\theta -\sqrt{3}\cos 2\theta$ 运用辅助角公式进行单弦归拢合成： $f(\theta )=2\left(\frac{1}{2}\sin 2\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta \right)+1=2\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)+1$

根据第（1）问求得的自变量定义域限制 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$， 逐步推导复合角 $2\theta -\frac{\pi }{3}$ 的边界范围： $\frac{\pi }{2}\le 2\theta \le \pi$ 各项同时减去 $\frac{\pi }{3}$： $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\le 2\theta -\frac{\pi }{3}\le \pi -\frac{\pi }{3}⟹\frac{\pi }{6}\le 2\theta -\frac{\pi }{3}\le \frac{2\pi }{3}$

考查正弦函数 $y=\sin t$ 在闭区间 $t\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的图象分布特征：

• 当 $2\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 时， 正弦值取得最大值 $\sin \frac{\pi }{2}=1$；
• 当 $2\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$ 时， 对应左端点函数值 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$；
• 当 $2\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ 时， 对应右端点函数值 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于 $\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$， 故该闭区间内的绝对最小值在左端点取得， 最小值为 $\frac{1}{2}$。

代入最值进行算术常数放大与平移计算：

• 最大值： $f(\theta {)}_{\text{max}}=2\times 1+1=3$
• 最小值： $f(\theta {)}_{\text{min}}=2\times \frac{1}{2}+1=1+1=2$

综上所述，函数 $f(\theta )$ 的最大值为 $3$，最小值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标代数向三角恒等式的跨界转换（ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cot \theta$）、复合角辅助角公式（ $a\sin x+b\cos x$）、闭区间二次复合三角函数最值扫描。
2. 核心方法：两式代除消元法、辅助角复合单调性判定法。
3. 避坑指南：

• 第二问中化简 $2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)$ 时，诱导公式的负号极其容易看错。 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)$ 位于第二象限， 余弦为负， 负负得正化为 $+\sin 2\theta$。
• 计算区间最值时， 绝对不能盲目地以为最小值一定在右端点或左端点直接代入。必须老老实实计算出复合角 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$， 发现中间包含了顶点 $\frac{\pi }{2}$。通过比对两端点正弦值的大小来精准截取绝对最小值， 以免功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角形面积公式、平面向量数量积与夹角公式，是湖北卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（两式相除消元法、降幂扩角化简法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：三角形面积公式、平面向量数量积与夹角公式相互关联，解答中综合运用了两式相除消元法、降幂扩角化简法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2008-辽宁卷理-17 解-解三角形