2007-湖南卷文-03 单-充要条件与判别式

本题导读

本题考查充分必要条件，以及一元二次方程判别式。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 设 $p$：$b^2-4ac>0$（$a\ne 0$），$q$：关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）有实根，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. $p\Rightarrow q$：$\Delta >0$ 时方程有两个不等实根，成立。
2. $q\Rightarrow p$？方程有实根只需 $\Delta ⩾0$，$\Delta =0$ 时 $p$ 不成立，故不必要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$p\Rightarrow q$：当 $b^2-4ac>0$ 时，方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根，故 $p$ 是 $q$ 的充分条件． $q\Rightarrow p$：当方程有实根时，只需 $b^2-4ac⩾0$；取 $a=1$，$b=-2$，$c=1$，方程 $(x-1{)}^2=0$ 有实根 $x=1$，但 $b^2-4ac=0$，$p$ 不成立，故 $p$ 不是 $q$ 的必要条件． 综上，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件与判别式

核心方法：$\Delta >0\Rightarrow$ 有实根；有实根仅需 $\Delta ⩾0$，故充分不必要

避坑指南：判别式分"$>0$"与"$⩾0$"两档；验证必要性时举 $\Delta =0$ 反例即可

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充分必要条件与判别式结合，逻辑与方程交汇小题

结论推广：$\Delta >0$ 是两不等实根的充要条件、有实根的充分条件

方法推广：条件判断先写推出方向，再用特例否定反向

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