2007-湖南卷文-04 单-等比数列前十项和

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列求和。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 在等比数列 $\{a_n\}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）中，若 $a_1=1$，$a_4=\frac{1}{8}$，则该数列的前 10 项和为 ()

A. $2-\frac{1}{2^8}$　　　　B. $2-\frac{1}{2^9}$　　　　C. $2-\frac{1}{2^{10}}$　　　　D. $2-\frac{1}{2^{11}}$

🔍【思路分析】

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1. $a_4=a_1{q}^3\Rightarrow q^3=\frac{1}{8}\Rightarrow q=\frac{1}{2}$。
2. 求和公式：$S_{10}=\frac{1-(1/2{)}^{10}}{1-1/2}=2-2^{1-10}=2-\frac{1}{2^9}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_4=a_1{q}^3$，得 $q^3=\frac{1}{8}$，故 $q=\frac{1}{2}$． 前 10 项和 $S_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)=2-\frac{1}{2^9}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前十项和

核心方法：$a_4=a_1{q}^3$ 定 $q=\frac{1}{2}$；$S_{10}=\frac{1-q^{10}}{1-q}=2-\frac{1}{2^9}$

避坑指南：$q^3=\frac{1}{8}$ 开立方取实根 $\frac{1}{2}$；求和后 $2\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)=2-\frac{1}{2^9}$ 别算成 $2-\frac{1}{2^{10}}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量与求和，数列小题标准型

结论推广：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）

方法推广：等比数列先定 $q$ 再求和；指数运算 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}$ 别丢 1

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