2007-湖南卷文-09 单-椭圆准线距离定离心率

本题导读

本题考查椭圆，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>1$）的左、右焦点，$P$ 是其右准线上纵坐标为 $\sqrt{3}c$（$c$ 为半焦距）的点，且 $|F_1{F}_2|=|F_{2}P|$，则椭圆的离心率是 ()

A. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 右准线 $x=\frac{a^2}{c}$，$P\left(\frac{a^2}{c},\sqrt{3}c\right)$，$F_2(c,0)$。
2. $|F_{2}P{|}^2={\left(\frac{a^2}{c}-c\right)}^2+3c^2={\left(\frac{b^2}{c}\right)}^2+3c^2$。
3. $|F_1{F}_2|=2c$，平方相等：$\frac{b^4}{c^2}+3c^2=4c^2\Rightarrow b^4=c^4\Rightarrow b^2=c^2$。
4. $a^2=b^2+c^2=2c^2\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，故 $P\left(\frac{a^2}{c},\sqrt{3}c\right)$，$F_2(c,0)$． $|F_{2}P{|}^2={\left(\frac{a^2}{c}-c\right)}^2+(\sqrt{3}c{)}^2={\left(\frac{b^2}{c}\right)}^2+3c^2=\frac{b^4}{c^2}+3c^2$． 由 $|F_1{F}_2|=|F_{2}P|$，得 $\frac{b^4}{c^2}+3c^2=4c^2$，即 $b^4=c^4$，故 $b^2=c^2$． 于是 $a^2=b^2+c^2=2c^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆准线距离定离心率

核心方法：$|F_{2}P{|}^2={\left(\frac{b^2}{c}\right)}^2+3c^2=4c^2\Rightarrow b^2=c^2\Rightarrow e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：准线到焦点的水平距是 $\frac{b^2}{c}$ 不是 $\frac{a^2}{c}-c$ 的化简错误；$a>b>1$ 保证椭圆存在

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆准线与焦点距离定离心率，解析几何小题

结论推广：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是 $b=c$（半通径等于半焦距）的离心率

方法推广：准线类问题先写准线方程，距离平方展开后按 $a,b,c$ 整理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷文-20 解-抛物线椭圆
• 2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义