2015-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线

本题导读

渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 过 $(3,-4)$ 得 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，$e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{7}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{4}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{5}{3}$

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渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 过 $(3,-4)$ 得 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，$e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。由于其中一条渐近线经过 $(3,-4)$，且 $a,b>0$，所以 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。

由 $c^2=a^2+b^2$，得 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与离心率

核心方法：“渐近线过定点”定 $b/a$，$e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$ 直接换算

避坑指南：点 $(3,-4)$ 的纵坐标为负，代入的是 $y=-\frac{b}{a}x$ 这一条，但 $b/a$ 取正比值，别把符号带进平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线与离心率的互化是双曲线小题的第一母题（doc 考点定位：双曲线的简单性质）。

结论推广：渐近线斜率 $\pm k(k>0)$ 与离心率一一对应：$e=\sqrt{1+k^2}$；$e$ 的范围 $(1,\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2},+\infty )$ 分别对应 $k<1$ 与 $k>1$。

方法推广：见渐近线就写 $b/a$，见离心率就写 $\sqrt{1+(b/a{)}^2}$，两个量一根链条。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-13 填-双曲线性质
• 2014-湖南卷理-21 解-椭圆形标准方程
• 2012-湖南卷理-05