2007-湖南卷文-12 填-正弦定理求角

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 在 $triangleABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $a=1$，$$\begin{gathered} c= \\ sqrt3 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} C= \\ dfrac \\ pi3 \end{gathered}$$，则 $A=$　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 正弦定理：$$\begin{gathered} sinA= \\ dfraca \\ sinCc \end{gathered}$$。
2. 代入：$$\begin{gathered} sinA= \\ dfrac1 \\ cdot \\ sin \\ frac \\ pi3 \\ sqrt3= \\ dfrac \\ frac \\ sqrt32 \\ sqrt3= \\ dfrac12 \end{gathered}$$。
3. 大边对大角：$$\begin{gathered} a<c \\ RightarrowA<C= \\ dfrac \\ pi3 \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} A= \\ dfrac \\ pi6 \end{gathered}$$（舍 $$\begin{gathered} dfrac5 \\ pi6 \end{gathered}$$）。

✅【答案】

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$$\begin{gathered} dfrac \\ pi6 \end{gathered}$$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $$\begin{gathered} dfraca \\ sinA= \\ dfracc \\ sinC \end{gathered}$$，得 $$\begin{gathered} sinA= \\ dfraca \\ sinCc= \\ dfrac1 \\ cdot \\ dfrac \\ sqrt32 \\ sqrt3= \\ dfrac12 \end{gathered}$$． 因 $$\begin{gathered} a=1<c= \\ sqrt3 \end{gathered}$$，由大边对大角知 $$\begin{gathered} A<C= \\ dfrac \\ pi3 \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} A= \\ dfrac \\ pi6 \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} dfrac5 \\ pi6> \\ dfrac \\ pi3 \end{gathered}$$ 舍去）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理求角

核心方法：$\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{1}{2}$；大边对大角定 $A=\frac{\pi }{6}$

避坑指南：$\sin A=\frac{1}{2}$ 有两解，$a<c$ 排除钝角 $\frac{5\pi }{6}$；解的个数判定先比边

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理求角，解三角形基础题

结论推广：$\sin A=\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$，边角关系定舍

方法推广：正弦定理求角必查两解：用大边对大角或内角和排除

🔗【关联脉络】

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