2007-湖南卷文-16 解-降幂化简周期与增区间

本题导读

本题考查二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 已知函数 $$\begin{gathered} f(x)=1-2 \\ si{n}^2 \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right)+2 \\ sin \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right) \\ cos \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right) \end{gathered}$$．求： （1）函数 $f(x)$ 的最小正周期； （2）函数 $f(x)$ 的单调增区间．

🔍【思路分析】

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1. 降幂：$$\begin{gathered} 1-2 \\ si{n}^2 \\ theta= \\ cos2 \\ theta \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} theta=x+ \\ frac \\ pi8 \end{gathered}$$；倍角：$$\begin{gathered} 2 \\ sin \\ theta \\ cos \\ theta= \\ sin2 \\ theta \end{gathered}$$。
2. $$\begin{gathered} f(x)= \\ cos \\ left(2x+ \\ frac \\ pi4 \\ right)+ \\ sin \\ left(2x+ \\ frac \\ pi4 \\ right)= \\ sqrt2 \\ sin \\ left(2x+ \\ frac \\ pi2 \\ right)= \\ sqrt2 \\ cos2x \end{gathered}$$。
3. $$\begin{gathered} T= \\ dfrac2 \\ pi2= \\ pi \end{gathered}$$。
4. $cos2x$ 增 $$\begin{gathered} iff2x \\ in[2k \\ pi- \\ pi,2k \\ pi] \\ iffx \\ in \\ left[k \\ pi- \\ dfrac \\ pi2,k \\ pi \\ right] \end{gathered}$$。

✅【答案】

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（1）$$\begin{gathered} T= \\ pi \end{gathered}$$；（2）增区间 $$\begin{gathered} left[k \\ pi- \\ dfrac \\ pi2, \\ k \\ pi \\ right] \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} k \\ in \\ mathbbZ \end{gathered}$$）

✍【详细解析】

Abstract

$$\begin{gathered} f(x)=1-2 \\ si{n}^2 \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right)+2 \\ sin \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right) \\ cos \\ left(x+ \\ dfrac \\ pi8 \\ right)= \\ cos \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi4 \\ right)+ \\ sin \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi4 \\ right) \end{gathered}$$． $$\begin{gathered} cos \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi4 \\ right)+ \\ sin \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi4 \\ right)= \\ sqrt2 \\ sin \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi4+ \\ dfrac \\ pi4 \\ right)= \\ sqrt2 \\ sin \\ left(2x+ \\ dfrac \\ pi2 \\ right)= \\ sqrt2 \\ cos2x \end{gathered}$$． （1）最小正周期 $$\begin{gathered} T= \\ dfrac2 \\ pi2= \\ pi \end{gathered}$$． （2）$$\begin{gathered} sqrt2 \\ cos2x \end{gathered}$$ 单调递增 $$\begin{gathered} iff- \\ pi+2k \\ pi \\ leqslant2x \\ leqslant2k \\ pi \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} k \\ in \\ mathbbZ \end{gathered}$$），即 $$\begin{gathered} k \\ pi- \\ dfrac \\ pi2 \\ leqslantx \\ leqslantk \\ pi \end{gathered}$$． 故单调增区间为 $$\begin{gathered} left[k \\ pi- \\ dfrac \\ pi2, \\ k \\ pi \\ right] \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} k \\ in \\ mathbbZ \end{gathered}$$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂化简周期与增区间

核心方法：降幂 $1-2{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$、倍角 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$，再辅助角合并 $=\sqrt{2}\cos 2x$

避坑指南：整体角是 $2x+\frac{\pi }{4}$（两次倍角）；$\cos 2x$ 的增区间是 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$ 平移，别与 $\sin$ 混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角降幂化简与周期单调性，三角解答题标准第一题

结论推广：$\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$

方法推广：三角化简流水线：降幂 → 倍角 → 辅助角 → 按性质读结论

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2010-湖南卷理-16
• 2007-湖南卷理-16 解-三角函数单调递增区间
• 2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间