2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式

本题导读

本题考查两角和与差的正弦、余弦公式。核心在于辅助角公式法、公式化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (x-\frac{\pi }{6})+\cos (x-\frac{\pi }{3})$，$g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}$.

(1)若 $\alpha$ 是第一象限角，且 $f(\alpha )=\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求 $g(\alpha )$ 的值；

(2)求使 $f(x)\ge g(x)$ 成立的 $x$ 的取值集合.

🔍【思路分析】

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1. 化简 $f(x)$： 利用两角和与差的公式展开 $f(x)$： $f(x)=(\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6})+(\cos x\cos \frac{\pi }{3}+\sin x\sin \frac{\pi }{3})$ 代入特殊角数值，合并同类项，最终可化简为 $\sqrt{3}\sin x$。
2. 化简 $g(x)$： 利用二倍角的余弦公式（降幂公式）：$g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$。
3. 第一问解答： 将 $f(\alpha )=\sqrt{3}\sin \alpha =\frac{3\sqrt{3}}{5}$ 代入，求出 $\sin \alpha$。再根据 $\alpha$ 在第一象限求出 $\cos \alpha$，最后代入 $g(\alpha )=1-\cos \alpha$ 即可。
4. 第二问解答： 建立不等式 $\sqrt{3}\sin x\ge 1-\cos x$，整理得 $\sqrt{3}\sin x+\cos x\ge 1$。 使用辅助角公式化简为 $2\sin (x+\frac{\pi }{6})\ge 1$，即 $\sin (x+\frac{\pi }{6})\ge \frac{1}{2}$。 根据正弦函数的性质确定 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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解：(1)；(2)

✍【详细解析】

Abstract

解：（Ⅰ） 首先化简 $f(x)$： $f(x)=\sin x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\cos x\cdot \frac{1}{2}+\cos x\cdot \frac{1}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\sin x$ 由 $f(\alpha )=\sqrt{3}\sin \alpha =\frac{3\sqrt{3}}{5}$，得 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$。 因为 $\alpha$ 是第一象限角，所以： $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-(\frac{3}{5}{)}^2}=\frac{4}{5}$ 故 $g(\alpha )=1-\cos \alpha =1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。

（Ⅱ） 由 $f(x)\ge g(x)$，得 $\sqrt{3}\sin x\ge 1-\cos x$。 整理得：$\sqrt{3}\sin x+\cos x\ge 1$。 左边提取 2，应用辅助角公式： $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)\ge 1⟹2\sin (x+\frac{\pi }{6})\ge 1$ 即 $\sin (x+\frac{\pi }{6})\ge \frac{1}{2}$。 令 $u=x+\frac{\pi }{6}$，由正弦函数图象可知： $\frac{\pi }{6}+2k\pi \le x+\frac{\pi }{6}\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 解得： $2k\pi \le x\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 所以 $x$ 的取值集合为 $\{x\mid 2k\pi \le x\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：本题中 $f(x)=\sqrt{3}\sin x$，若题目改为求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象交点，则只需令 $\sin (x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ 即可。

方法推广：对于含 ${\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x,\sin x\cos x$ 的综合式子，通常先降幂再合一。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式