2007-湖南卷理-16 解-三角函数单调递增区间

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。第一问先用倍角降幂公式化简 $f(x)$，根据其余弦型函数的对称轴性质确定 $x_0$ 满足的代数特征， 进而代入 $g(x)$ 求解；第二问将 $f(x)$ 与 $g(x)$ 相加，通过辅助角公式化为单弦函数， 利用整体代换法求解其单调递增区间。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)$, $g(x)=1+\frac{1}{2}\sin 2x$.

(1) 设 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴，求 $g(x_0)$ 的值；

(2) 求函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ 的单调递增区间.

🔍【思路分析】

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1. 化简 $f(x)$：运用余弦二倍角降幂公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 将 $f(x)$ 展开化简。

2. 第一问：利用余弦函数 $y=\cos \varphi$ 在对称轴处取得极值的性质， 令其整体角等于 $k\pi$， 建立关于 $x_0$ 的等式， 进而代入求出 $\sin 2x_0$， 最终求出 $g(x_0)$。

3. 第二问：对 $h(x)=f(x)+g(x)$ 进行代数合并， 运用辅助角公式将其化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的标准型， 结合正弦函数的增区间性质求出最终范围。

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$g(x_0)$ 的值为 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）运用余弦二倍角降幂公式化简函数 $f(x)$ 的解析式： $f(x)={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

因为 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴， 根据余弦函数性质， 当且仅当其余弦整体角取得最大值或最小值（即处于波峰或波谷）时， 该直线为对称轴。 故满足方程： $2x_0+\frac{\pi }{6}=k\pi (k\in \mathbf{Z})⟹2x_0=k\pi -\frac{\pi }{6}(k\in \mathbf{Z})$

将 $2x_0$ 的代换式直接代入函数 $g(x)$ 的表达式中： $g(x_0)=1+\frac{1}{2}\sin 2x_0=1+\frac{1}{2}\sin \left(k\pi -\frac{\pi }{6}\right)(k\in \mathbf{Z})$ 运用诱导公式对 $\sin \left(k\pi -\frac{\pi }{6}\right)$ 进行分类讨论：

• 当 $k$ 为偶数（设 $k=2n,n\in \mathbf{Z}$）时： $\sin \left(2n\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}⟹g(x_0)=1+\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
• 当 $k$ 为奇数（设 $k=2n+1,n\in \mathbf{Z}$）时： $\sin \left((2n+1)\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}⟹g(x_0)=1+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

综上所述， $g(x_0)$ 的值为 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{5}{4}$。

（2）将两解析式相加构建复合函数 $h(x)$： $h(x)=f(x)+g(x)=\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\right]+\left[1+\frac{1}{2}\sin 2x\right]$ $h(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 利用两角和的余弦公式展开 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$： $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{6}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x$ 代回原式中合并同类项： $h(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)$ $h(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x-\frac{1}{4}\sin 2x=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x+\frac{3}{2}$ 运用辅助角公式提取公因数 $\frac{1}{2}$ 合并为单弦型正弦函数： $h(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{3}{2}$

要求函数 $h(x)$ 的单调递增区间， 运用整体代换法， 令其正弦型函数的整体角处于正弦曲线的基本递增区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 内部： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 各项同时减去 $\frac{\pi }{3}$： $-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ $-\frac{5\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 两边同除以正数 2， 解得自变量 $x$ 的范围边界为： $-\frac{5\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

所以，函数 $h(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+k\pi \right](k\in \mathbf{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦降幂公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$、正弦/余弦型函数对称轴与最值的对应特征、辅助角公式合成、整体代换求解单调区间。
2. 核心方法：两角和差公式展开化简法、整体代换法。
3. 避坑指南：

• 第一问求出 $2x_0=k\pi -\frac{\pi }{6}$ 后，代入 $\sin 2x_0$ 时必须针对整数 $k$ 的奇偶性展开双分支讨论， 漏掉任何一种都会导致结果不完整而被扣分。
• 第二问求递增区间， 必须在最终写出的闭区间末尾严格注明 $k\in \mathbf{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数降幂公式、三角函数的对称轴性质，是湖南卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（降幂扩角法、辅助角公式（两角和与差公式））可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：三角函数降幂公式、三角函数的对称轴性质相互关联，解答中综合运用了降幂扩角法、辅助角公式（两角和与差公式），建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质