2007-湖南卷理-12 填-特殊角三角函数值

本题导读

本题考查解三角形中的余弦定理。已知三角形的三边长，直接代入余弦定理求出角 $B$ 的余弦值，进而确定角 $B$ 的大小。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A、B、C$ 所对的边分别为 $a、b、c$，若 $a=1,b=\sqrt{7},c=\sqrt{3}$，则 $B=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用余弦定理变形公式： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

2. 代入已知三边长计算：将 $a=1,b=\sqrt{7},c=\sqrt{3}$ 代入化简求出 $\cos B$。

3. 确定角 $B$ 的大小：结合 $△ABC$ 的内角范围 $B\in (0,\pi )$ 确定对应的特殊角。

✅【答案】

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$\frac{5\pi }{6}$ （或 $150^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

解：根据解三角形中的余弦定理变形公式，角 $B$ 的余弦值表达式为： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

将已知的边长 $a=1,b=\sqrt{7},c=\sqrt{3}$ 直接代入上式中： $\cos B=\frac{1^2+(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{7}{)}^2}{2\times 1\times \sqrt{3}}=\frac{1+3-7}{2\sqrt{3}}=\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角， 且 $\cos B<0$， 说明 $B$ 是一个钝角。 在区间 $(0,\pi )$ 内部， 满足 $\cos B=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的特殊角为： $B=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}(\text{或 }150^{\circ })$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理求角公式、第二象限钝角的余弦值对应。
2. 核心方法：公式代入法。
3. 避坑指南：

• 算出来 $\cos B=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 后， 切勿由于粗心大意漏看负号而错写成 $\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$)。余弦值为负对应三角形内的钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理、特殊角的三角函数值是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是余弦定理、特殊角的三角函数值的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用公式直接代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷理-11 填-平方差公式
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2008-大纲卷I理-15 填-解三角形