2007-湖南卷理-13 填-闭区间上连续函数最值

本题导读

本题考查利用导数求三次多项式函数在闭区间上的绝对最小值。通过求导找出区间内部的驻点， 结合区间端点的函数值进行整体比对， 锁定最小值。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 函数 $f(x)=12x-x^3$ 在区间 $[-3,3]$ 上的最小值是________。

🔍【思路分析】

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1. 求导锁定驻点：

• $f^{\prime }(x)=12-3x^2=3(4-x^2)=3(2-x)(2+x)$。
• 令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=\pm 2$。两个驻点均落在给定闭区间 $[-3,3]$ 内部。

2. 分析单调性区间：

• 当 $x\in [-3,-2)$ 时， $f^{\prime }(x)<0⟹f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (-2,2)$ 时， $f^{\prime }(x)>0⟹f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (2,3]$ 时， $f^{\prime }(x)<0⟹f(x)$ 单调递减。

3. 计算并比对潜在的极小值与端点值：

• 最小值必然在左端点 $f(-3)$ 或极小值点 $f(-2)$ 处取得。

• 依次算出 $f(-3)$ 和 $f(-2)$ 进取减法大小比对， 锁死全域下界。

✅【答案】

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$-16$

✍【详细解析】

Abstract

解：对函数 $f(x)=12x-x^3$ 进行求导： $f^{\prime }(x)=12-3x^2=3(4-x^2)=3(2-x)(2+x)$

令 $f^{\prime }(x)=0$， 解得函数的两个导数零点（驻点）为： $x_1=-2,x_2=2$ 这两个驻点均属于考查区间 $[-3,3]$ 内部。

分析导函数在闭区间上的正负号变化， 得到函数 $f(x)$ 的单调性轨迹：

• 当 $x\in [-3,-2)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$， 函数 $f(x)$ 严格单调递减；
• 当 $x\in (-2,2)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$， 函数 $f(x)$ 严格单调递增；
• 当 $x\in (2,3]$ 时， $f^{\prime }(x)<0$， 函数 $f(x)$ 严格单调递减。

根据“先减后增再减”的图象轮廓， 该函数在闭区间 $[-3,3]$ 上的全域绝对最小值只能在左端点 $x=-3$ 或者极小值点 $x=-2$ 处产生。 分别计算这两个关键节点的具体函数值：

• 代入左端点： $f(-3)=12\times (-3)-(-3{)}^3=-36-(-27)=-36+27=-9$
• 代入极小值点： $f(-2)=12\times (-2)-(-2{)}^3=-24-(-8)=-24+8=-16$

通过常数大小比对， 显然有 $-16<-9$。 因此， 函数 $f(x)$ 在区间 $[-3,3]$ 上的绝对最小值为 $-16$（在 $x=-2$ 处取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式函数一阶求导法则、单调性区间判定、闭区间极值与端点值大比对。
2. 核心方法：导数驻点排查法。
3. 避坑指南：

• 解决闭区间最值问题， 绝对不能盲目以为最小值一定在端点取得。必须老老实实用导数找出区间的极小值点 $x=-2$， 并通过与端点值 $f(-3)$ 的代数计算比对， 才能确保不漏掉真正的绝对全域低谷点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究函数的单调性、闭区间上连续函数的最值是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是利用导数研究函数的单调性、闭区间上连续函数的最值的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用导数驻点排查法、端点极值比对法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2008-北京卷理-13 填-不等式
• 2008-湖北卷文-13 填-指幂混合方程解数