2008-北京卷理-13 填-不等式

本题导读

本题考查利用导数研究具体初等函数的单调性与奇偶性，并将函数的综合性质应用于不等式恒成立的条件判定中。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2-\cos x$，对于 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的任意 $x_1,x_2$，有如下条件： ① $x_1>x_2$；② $x_1^2>x_2^2$；③ $|x_1|>x_2$. 其中能使 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立的条件序号是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 首先分析函数 $f(x)$ 的奇偶性，确定其对称特征。
2. 利用导数分析函数 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的单调性，进而得出函数值大小与自变量绝对值大小的等价关系。
3. 逐一审视三个条件，通过举反例排除不恒成立的条件。

✅【答案】

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$2，-2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(-x)=(-x{)}^2-\cos (-x)=x^2-\cos x=f(x)$， 所以函数 $f(x)$ 是定义在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的偶函数。 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=2x+\sin x$。 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2x>0$，$\sin x>0$，则 $f^{\prime }(x)>0$， 所以 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增。 结合偶函数的性质，在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上，$f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|⟺x_1^2>x_2^2$。

对各项条件进行判定： 对于①：由 $x_1>x_2$ 不能推出 $|x_1|>|x_2|$。例如取 $x_1=0,x_2=-1$，满足 $x_1>x_2$，但 $f(0)<f(-1)$，不恒成立； 对于②：由 $x_1^2>x_2^2⟺|x_1|>|x_2|$，根据单调性与奇偶性可知 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立； 对于③：由 $|x_1|>x_2$ 不能推出 $|x_1|>|x_2|$。例如取 $x_1=0,x_2=-1$，满足 $|0|>-1$，但 $f(0)<f(-1)$，不恒成立。 综上所述，能使 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立的条件序号是 ②。 答案：②

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数在对称区间上的单调性特征，即 $f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|$。
2. 核心方法：利用导数符号判定基本初等函数组合体的单调性；利用特殊值（如含负数、0的组合）快速检验条件真伪。
3. 避坑指南：容易直观误认为①正确，忽视了在含负数的区间中，单纯的代数大小关系 $x_1>x_2$ 无法决定绝对值的大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材中偶函数与单调性结合的常规题型升级而来，增加了抽象逻辑条件的选择考查。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 是定义在 $[-a,a]$ 上的偶函数，且在 $[0,a]$ 上单调递增，则对任意 $x_1,x_2\in [-a,a]$，$f(x_1)>f(x_2)$ 的充要条件是 $x_1^2>x_2^2$（或 $|x_1|>|x_2|$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式