2007-湖南卷理-15 填-归纳推理周期性规律

本题导读

本题是一道将古典杨辉三角与现代分形几何相结合的创新型高难度填空压轴题。第一问通过观察全行为 1 的行号特征进行指数幂归纳；第二问通过研究每一行的奇数（化为1）的个数规律， 利用谢尔宾斯基分形的倍增特征求解特定行中 1 的总数。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 $0-1$ 三角数表，从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行， $\dots$，第 $n$ 次全行的数都为 1 的是第________行；第 61 行中 1 的个数是________。

\text{第 1 行} & & & & 1 & 1 & & \\ \text{第 2 行} & & & 1 & 0 & 1 & & \\ \text{第 3 行} & & 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ \text{第 4 行} & & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\ \text{第 5 行} & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：寻找全为 1 的行号规律：

• 第 1 次：第 1 行（对应杨辉三角第 2 行 ${\text{C}}_1^0,{\text{C}}_1^1$， 行号由 1 开始计算）；
• 第 2 次：第 3 行（对应 ${\text{C}}_3^r$，全为奇数）；
• 观察发现：第 1 次为 $2^1-1=1$，第 2 次为 $2^2-1=3$，第 3 次为 $2^3-1=7$。
• 归纳猜想：第 $n$ 次全行为 1 的行号为 $2^n-1$。

2. 第二问：求解第 61 行中 1 的个数：

• 依据卢卡斯定理（Lucas’ theorem）在模 2 下的性质：杨辉三角第 $N$ 行（从 0 开始计数， 对应图中的第 $N$ 行元素个数为 $N+1$）中奇数的个数等于 $2^k$， 其中 $k$ 是 $N$ 的二进制表示中 1 的个数。

• 注意图中的“第 1 行”有 2 个元素， 对应组合数 ${\text{C}}_1^r$， 即图中的“第 $m$ 行”对应组合数下标为 $m$。

• 故题目要求的“第 61 行”对应组合数下标 $N=61$。

• 将 61 化为二进制数： $61=32+16+8+4+1=2^5+2^4+2^3+2^2+2^0=(111101{)}_2$。

• 统计二进制表示中 1 的个数：共有 5 个 1。

• 故 1 的个数为 $2^5=32$ 个。

✅【答案】

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$2^n-1$ ； $32$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）观察题干给出的前几行全为 1 的行号分布特征：

• 第 1 次全行为 1：第 $1$ 行， 可写为 $2^1-1$；
• 第 2 次全行为 1：第 $3$ 行， 可写为 $2^2-1$；
• 如果继续向下书写杨辉三角， 下一次全为奇数（即全为1）的行将出现在对应组合数下标为 $2^3-1=7$ 的地方。 由此进行归纳推理， 第 $n$ 次全行数字都为 1 的是第 $2^n-1$ 行。

（2）根据数论中的卢卡斯定理在模 2 状态下的衍生性质：杨辉三角中第 $m$ 行（其包含 $m+1$ 个元素， 对应组合数 ${\text{C}}_m^r$）中奇数（即该 $0-1$ 三角中的 1）的个数， 严格等于 $2^k$， 其中 $k$ 是整数 $m$ 写成二进制表示形式后数字 “1” 的绝对个数。

本题图表中的“第 1 行”包含 2 个元素（ 1 1 ）， 对应的组合数上标即为 $m=1$。 因此， 题目所求的“第 61 行”， 对应组合数上标恰好为： $m=61$

将十进制正整数 61 拆解为 2 的幂次之和以转化为二进制数： $61=32+16+8+4+1=2^5+2^4+2^3+2^2+2^0$ 写成标准二进制记号为： $61=(111101{)}_2$

数出该二进制数中数字 “1” 的总个数： 在 $(111101{)}_2$ 中， 共有 5 个位置上的数字为 1， 即 $k=5$。

套用数量翻倍规律公式， 可得第 61 行中 1 的总个数为： $\text{个数}=2^k=2^5=32\text{ 个}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：杨辉三角奇偶分布的二进制分形结构（谢尔宾斯基垫片）、卢卡斯定理在模2下的特殊投影应用。
2. 核心方法：归纳猜想演绎法、二进制数位拆解法。
3. 避坑指南：

• 本题是全卷难度最大的一道创新填空题， 如果采用手工去硬生生画到第 61 行， 会产生不可承受的巨大运算量且极易数错。
• 必须掌握高级背景工具：杨辉三角第 $m$ 行奇数的个数等于 2 的“ $m$ 的二进制中1的个数”次方。利用这个高观点数论工具， 只需要将 61 拆成 $32+16+8+4+1$ 发现有 5 个分量， 就能在一秒钟内得出 $2^5=32$ 这一正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：杨辉三角的数理性质、二进制与谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）分形是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是杨辉三角的数理性质、二进制与谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）分形的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用归纳猜想演绎法、指数幂次递推法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-10 填-三角形数阵
• 2008-湖北卷理-15 填-数列
• 2009-浙江卷理-15 填-排列组合