2007-湖南卷理-19 解-导数在实际优化问题中应用

本题导读

本题是一道应用代数函数模型解决实际工程造价优化的立体几何综合题。核心在于利用二面角的性质求出山坡长度 $l$ 的固定值，从而将各段路径的造价用未知线段长度作为自变量建立函数，利用一元二次函数及不等式性质求解极小值。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 $P$ 和居民区 $O$ 的公路，点 $P$ 所在的山坡面与山脚所在水平面 $\alpha$ 所成的二面角为 $\theta$ ($0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$)，且 $\sin \theta =\frac{2}{5}$，点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $PH=0.4$ (km). 沿山脚原有一段笔直的公路 $AB$ 可供利用，从点 $O$ 到山脚修路的造价为 $a$ 万元/km，原有公路改建费用为 $\frac{a}{2}$ 万元/km，当山坡上公路长度为 $l$ km ($1\le l\le 2$) 时，其造价为 $(l^2+1)a$ 万元，已知 $OA\perp AB$, $PB\perp AB$, $AB=1.5$ (km), $OA=\sqrt{3}$ (km).

(1) 在 $AB$ 上求一点 $D$，使沿折线 $PDAO$ 修建公路的总造价最小；

(2) 对于 (1) 中得到的点 $D$，在 $DA$ 上求一点 $E$，使沿折线 $PDEO$ 修建公路的总造价最小；

(3) 在 $AB$ 上是否存在两个不同的点 $D^{\prime },E^{\prime }$，使沿折线 $P{D}^{\prime }{E}^{\prime }O$ 修建公路的总造价小于 (2) 中得到的最小总造价，证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定山坡公路长度 $l$：由题意， $P$ 到水平面 $\alpha$ 的距离 $PH=0.4$， 且坡面与水平面成二面角 $\theta$， 满足 $\sin \theta =\frac{2}{5}$。根据正弦定义， 山坡上从 $P$ 到山脚直线 $AB$ 的最短距离（即垂线段 $PB$）满足 $\sin \theta =\frac{PH}{PB}⟹PB=\frac{0.4}{2/5}=1$ km。由于题干说明山坡上公路长度为 $l$ 时 $1\le l\le 2$， 且造价为 $(l^2+1)a$， 当路径为垂线段 $PB$ 时， 长度 $l=1$ 刚好满足下界。此时山坡段造价固定为 $(1^2+1)a=2a$。

2. 第一问：设 $BD=x$ ($0\le x\le 1.5$)， 则 $AD=1.5-x$。总造价 $W_1={\text{造价}}_{PD}+{\text{造价}}_{DA}+{\text{造价}}_{AO}$。因为 $D$ 在 $AB$ 上， 且 $PB\perp AB⟹PD=\sqrt{P{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{1+x^2}$。由于 $PD$ 仍在山坡上， 其长度 $l=\sqrt{1+x^2}\in [1,1.5]$ 满足 $1\le l\le 2$。代入其造价公式。写出总造价关于 $x$ 的一元二次方程， 求最值。

3. 第二问：在已知点 $D$ 的基础上， 设 $AE=y$， 建立折线 $PDEO$ 的造价函数， 转化为初等值最值问题。

4. 第三问：讨论双动点 $D^{\prime },E^{\prime }$ 的位置， 运用两点间直线最短或函数压制证明是否存在更小代数解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：根据题意， $PH\perp$ 平面 $\alpha$。作 $PB\perp AB$ 于 $B$， 连结 $HB$。由三垂线定理知 $HB\perp AB$， 故 $\angle PBH$ 为斜坡面与水平面 $\alpha$ 所成二面角的平面角， 即 $\angle PBH=\theta$。 已知 $\sin \theta =\frac{PH}{PB}=\frac{2}{5}$， 且 $PH=0.4$ km， 解得山坡斜线段 $PB=\frac{0.4}{2/5}=1$ km。

（1）若沿折线 $PDAO$ 修建公路， 设 $BD=x$ ($0\le x\le 1.5$) km。 在 Rt$△PBD$ 中， $PD=\sqrt{P{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{1+x^2}$。 因为 $0\le x\le 1.5$， 故山坡段公路长度 $l=PD=\sqrt{1+x^2}\in [1,\sqrt{3.25}]$， 满足 $1\le l\le 2$。 其造价为 $(l^2+1)a=(1+x^2+1)a=(x^2+2)a$ 万元。 其余各段路径长度为： $DA=1.5-x$ km， $AO=\sqrt{3}$ km。 总造价 $W_1$ 为： $W_1=(x^2+2)a+\frac{a}{2}(1.5-x)+a\sqrt{3}=a\left(x^2-\frac{1}{2}x+2.75+\sqrt{3}\right)$ 对括号内部的一元二次多项式进行配方： $W_1=a\left[{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+\frac{11}{4}+\sqrt{3}\right]=a\left[{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{43}{16}+\sqrt{3}\right]$ 当 $x=\frac{1}{4}=0.25$ km 时， 总造价 $W_1$ 取得最小值。 此时 $BD=0.25$ km， 即点 $D$ 位于距离点 $B$ 为 $0.25$ km 的位置。

（2）当 $BD=0.25$ km 时， $AD=1.5-0.25=1.25$ km。 在 $DA$ 上求一点 $E$， 设 $AE=y$ ($0\le y\le 1.25$) km， 则 $DE=1.25-y$ km。 此时沿折线 $PDEO$ 修建公路， 山坡段长度固定为 $PD=\sqrt{1+0.25^2}=\sqrt{\frac{17}{16}}$， 其造价为 $\left(\frac{17}{16}+1\right)a=\frac{33}{16}a$。 在水平面内， $OA\perp AB$， 故在 Rt$△OAE$ 中， 新修路段 $EO=\sqrt{O{A}^2+A{E}^2}=\sqrt{3+y^2}$ km。 总造价 $W_2$ 为： $W_2=\frac{33}{16}a+\frac{a}{2}(1.25-y)+a\sqrt{3+y^2}=a\left(\frac{33}{16}+\frac{5}{8}-\frac{1}{2}y+\sqrt{3+y^2}\right)=a\left(\frac{43}{16}-\frac{1}{2}y+\sqrt{3+y^2}\right)$ 为了求出其极小值， 对括号内的关于 $y$ 的函数进行求导： $f^{\prime }(y)=-\frac{1}{2}+\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}$ 令 $f^{\prime }(y)=0⟹\frac{y}{\sqrt{3+y^2}}=\frac{1}{2}⟹2y=\sqrt{3+y^2}⟹4y^2=3+y^2⟹3y^2=3$ 解得唯一正根为 $y=1$ km， 满足 $0\le y\le 1.25$。 经检验可知， 当 $y=1$ 时， $W_2$ 取得绝对全域最小值： $W_{2\text{min}}=a\left(\frac{43}{16}-\frac{1}{2}(1)+\sqrt{3+1^2}\right)=a\left(\frac{43}{16}-\frac{1}{2}+2\right)=a\left(\frac{43}{16}+\frac{3}{2}\right)=\frac{67}{16}a$ 此时点 $E$ 距离点 $A$ 为 $1$ km。

（3）不存在这样的两个不同点 $D^{\prime },E^{\prime }$。 证明如下： 设 $B{D}^{\prime }=x_1,A{E}^{\prime }=y_1$， 其中 $x_1+y_1\le 1.5$。 此时的总造价 $W_3$ 表达式为： $W_3=(x_1^2+2)a+\frac{a}{2}(1.5-x_1-y_1)+a\sqrt{3+y_1^2}$ 将各项按照变量 $x_1$ 与 $y_1$ 分开重新归拢： $W_3=a\left(x_1^2-\frac{1}{2}{x}_1+2\right)+a\left(\sqrt{3+y_1^2}-\frac{1}{2}{y}_1\right)+\frac{3}{4}a$ 由第（1）问的配方性质可知： $x_1^2-\frac{1}{2}{x}_1+2\ge {\left(\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)+2=\frac{31}{16}$。 由第（2）问的导数最值分析可知： $\sqrt{3+y_1^2}-\frac{1}{2}{y}_1\ge \sqrt{3+1^2}-\frac{1}{2}(1)=\frac{3}{2}$。 因此， 对任意独立的 $x_1,y_1$， 均满足下界压制： $W_3\ge a\left(\frac{31}{16}\right)+a\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{12}{16}a=\frac{31+24+12}{16}a=\frac{67}{16}a=W_{2\text{min}}$ 当且仅当 $x_1=0.25$ 且 $y_1=1$ 时， 等号严格成立。此时对应的点 $D^{\prime },E^{\prime }$ 刚好与第（2）问中求得的最优特定位置完全重合。 因此， 不存在两个不同的点使总造价小于 (2) 中的最小总造价。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体空间二面角的实际距离转化、多变量优化目标函数的拆分独立最值化、导数工具在复合函数根存在性及最值中的运用。
2. 核心方法：配方法、导数最值法。
3. 避坑指南：

• 第一问中由于山坡公路长度是变化的， 必须时刻警惕长度 $l$ 是否跑出题干限定的 $[1,2]$ 区间。经核验算出的 $l$ 处于安全取值范围内， 故可直接套用一元二次多项式公式。
• 第三问属于典型的“双动点联合优化”表面上非常复杂， 核心在于观察其多项式能否实现 $x$ 与 $y$ 的变数完全剥离。发现两变量无交叉项（没有 $xy$ 项）后， 可以将其转化为两个独立的一元函数最值之和， 从而利用前两问的结论直接秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查二面角的几何特征、函数模型的构建与最值求解，是湖南卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（空间几何投影法、独立变量函数最值讨论法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：二面角的几何特征、函数模型的构建与最值求解相互关联，解答中综合运用了空间几何投影法、独立变量函数最值讨论法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角