2007-湖南卷理-20 解-数量积为常数定值问题

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与焦点坐标、向量的线性坐标运算的综合运用。核心在于把握各问之间的逻辑递进，逐问建立条件与结论之间的转化路径。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 已知双曲线 $x^2-y^2=2$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_2$ 的动直线与双曲线相交于 $A,B$ 两点.

(1) 若动点 $M$ 满足 $\overrightarrow{F_{1}M}=\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}O}$ (其中 $O$ 为坐标原点)，求点 $M$ 的轨迹方程；

(2) 在 $x$ 轴上是否存在定点 $C$，使 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$ 为常数？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 基本量确定：将 $x^2-y^2=2$ 化为标准方程 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，得 $a^2=2,b^2=2⟹c^2=a^2+b^2=4⟹c=2$。左、右焦点坐标分别为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$。

2. 第一问：设 $M(x,y),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。将向量条件变形为基位向量形式 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{O{F}_1}$。设过 $F_2(2,0)$ 的动直线方程为 $y=k(x-2)$，联立双曲线方程得到韦达关系，代入消去参数 $k$ 即可。

3. 第二问：设存在定点 $C(t,0)$。用坐标表示 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=x_1{x}_2-t(x_1+x_2)+t^2+y_1{y}_2$。代入韦达多项式化简，令含参数 $k$ 的项系数成比例消除，从而解出 $t$ 的值。

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在 $x$ 轴上存在满足条件的定点 $C(1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

解：将双曲线方程化为标准方程： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$， 可知 $a^2=2,b^2=2⟹c=\sqrt{a^2+b^2}=2$。 故焦点坐标为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$。

（1）设 $M(x,y),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 将已知向量式 $\overrightarrow{F_{1}M}=\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B}+\overrightarrow{F_{1}O}$ 的起点全部化为原点 $O$： $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O{F}_1}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O{F}_1})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{O{F}_1})+(\overrightarrow{OO}-\overrightarrow{O{F}_1})$ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{O{F}_1}$ 化为坐标关系式： $\{\begin{array}{l}x=x_1+x_2-2(-2)=x_1+x_2+4\text{(1)}\\ y=y_1+y_2\text{(2)}\end{array}$

设过右焦点 $F_2(2,0)$ 的动直线方程为 $y=k(x-2)$。 与双曲线方程 $x^2-y^2=2$ 联立得： $(1-k^2)x^2+4k^{2}x-4k^2-2=0$ 由一元二次方程韦达定理知： $x_1+x_2=\frac{-4k^2}{1-k^2}=\frac{4k^2}{k^2-1},x_1{x}_2=\frac{4k^2+2}{k^2-1}$ 纵坐标之和为： $y_1+y_2=k(x_1+x_2-4)=k\left(\frac{4k^2}{k^2-1}-4\right)=\frac{4k}{k^2-1}$

代回①、②式中可得点 $M$ 的坐标关于参数 $k$ 的表达式： $x=\frac{4k^2}{k^2-1}+4=\frac{8k^2-4}{k^2-1}⟹x-8=\frac{4}{k^2-1}\text{(3)}$ $y=\frac{4k}{k^2-1}\text{(4)}$ 由③知 $k^2-1=\frac{4}{x-8}⟹k^2=\frac{x-4}{x-8}$。将④式平方得： $y^2=\frac{16k^2}{(k^2-1{)}^2}=\frac{16\cdot \frac{x-4}{x-8}}{{\left(\frac{4}{x-8}\right)}^2}=(x-4)(x-8)=x^2-12x+32$ 移项配方整理，得到点 $M$ 的轨迹方程为： $(x-6{)}^2-y^2=4(\text{且 }x\ne 6\pm 2\sqrt{2})$

（2）假设在 $x$ 轴上存在满足条件的定点 $C(t,0)$。 根据向量数量积公式： $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(x_1-t)(x_2-t)+y_1{y}_2=x_1{x}_2-t(x_1+x_2)+t^2+y_1{y}_2$ 其中 $y_1{y}_2=k^2(x_1-2)(x_2-2)=k^2\left[x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4\right]=\frac{-2k^2}{k^2-1}$。 代入对应韦达项进行合并： $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{4k^2+2}{k^2-1}-t\left(\frac{4k^2}{k^2-1}\right)+t^2+\frac{-2k^2}{k^2-1}=\frac{(2-4t)k^2+2}{k^2-1}+t^2$ 若要该值与直线斜率 $k$ 无关，分式中 $k^2$ 的对应系数比必须等于常数项比： $\frac{2-4t}{1}=\frac{2}{-1}⟹2-4t=-2⟹t=1$ 当 $t=1$ 时， $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{-2(k^2-1)}{k^2-1}+1=-2+1=-1$ 恒为常数。

综上，在 $x$ 轴上存在满足条件的定点 $C(1,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量拆分法、联立方程的韦达定理法、分式定值系数化简。
2. 避坑指南：

• 第一问消元时注意平方关系的转化：通过 $x-8$ 表达出 $k^2-1$ 和 $k^2$，整体代入 $y^2$ 方程可省去大量因式分解运算。
• 第二问要求为常数时，直接利用有理分式 $\frac{A{k}^2+B}{C{k}^2+D}$ 为定值的充要条件 $\frac{A}{C}=\frac{B}{D}$ 求解，可迅速规避通分带来的代数繁杂度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查双曲线的标准方程与焦点坐标、向量的线性坐标运算，是湖南卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（坐标代入法、设而不求韦达定理法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：双曲线的标准方程与焦点坐标、向量的线性坐标运算相互关联，解答中综合运用了坐标代入法、设而不求韦达定理法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算
• 18.08 一般曲线与方程
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-天津卷文-22 解-双曲线渐近线与面积
• 2008-浙江卷文-22 解-抛物线轨迹定直线