2008-浙江卷文-22 解-抛物线轨迹定直线

本题导读

本题第(1)问由”到定点与到定直线距离相等”（抛物线定义）直接求曲线 $C$ 的方程；第(2)问设直线 $l$ 的斜率，用投影表示 $|QA|$、$|QB|$，令 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}$ 为常数解出斜率。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹. $l$ 是过点 $Q(-1,0)$ 的直线，$M$ 是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点，$A$，$B$ 在 $l$ 上，$MA\perp l$，$MB\perp x$ 轴（如图）.

(1)求曲线 $C$ 的方程；

(2)求出直线 $l$ 的方程，使得 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}$ 为常数.

🔍【思路分析】

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1. (1) 设 $M(x,y)$，由点到点、点到直线距离相等列方程，平方化简得抛物线方程。
2. (2) 设 $l$ 斜率 $k$，$l:y=k(x+1)$。由 $MB\perp x$ 轴得 $B=(x,k(x+1))$；由 $MA\perp l$ 用投影表示 $|QA|$，代入 $C$ 的方程消 $y$。
3. 令比值与 $x$ 无关，比较两个一次式零点定 $k$。

✅【答案】

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(1)$y=x^2+\frac{x}{2}$；(2)$l:y=2x+2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设曲线 $C$ 上任意一点为 $M(x,y)$。由点到点的距离和点到直线的距离相等，得 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{8}\right)}^2={\left(y+\frac{5}{8}\right)}^2$。 展开并化简，得 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-2y-\frac{1}{4}=0$，所以 $y=x^2+\frac{x}{2}$。 故曲线 $C$ 的方程为 $y=x^2+\frac{x}{2}$。 (2)若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，则一般点 $M$ 的竖直线不能与 $l$ 相交，点 $B$ 不存在，所以 $l$ 不垂直于 $x$ 轴。 设 $l$ 的斜率为 $k$，则 $l:y=k(x+1)$。由 $MB\perp x$ 轴，得 $B=(x,k(x+1))$，从而 $|QB{|}^2=(1+k^2)(x+1{)}^2$。 取 $(1,k)$ 为直线 $l$ 的方向向量。因为 $MA\perp l$，向量 $\overrightarrow{QA}$ 是 $\overrightarrow{QM}=(x+1,y)$ 在方向向量 $(1,k)$ 上的投影，所以 $\overrightarrow{QA}=\frac{x+1+ky}{1+k^2}(1,k)$，且 $|QA|=\frac{|x+1+ky|}{\sqrt{1+k^2}}$。 代入 $y=\frac{x(x+1)}{2}$，得 $x+1+ky=(x+1)\left(1+\frac{kx}{2}\right)$。因此有 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}=\frac{(1+k^2{)}^{3/2}|x+1|}{\left|1+\frac{kx}{2}\right|}$。 若 $k=0$，上式随 $x$ 变化，不可能恒为常数，故 $k\ne 0$。要使上式对曲线 $C$ 上的动点 $M$ 恒为常数，两个一次式 $x+1$ 与 $1+\frac{kx}{2}$ 必须成比例。比较它们的零点，得 $-1=-\frac{2}{k}$，所以 $k=2$。 反之，当 $k=2$ 时，$1+\frac{kx}{2}=1+x=x+1$，且 $M⊈l$ 排除了使分式无意义的点，故 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}=5^{3/2}=5\sqrt{5}$，确为常数。 所以所求直线为 $l:y=2x+2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线定义与轨迹、定值问题

核心方法：定义法求轨迹；投影表示 $|QA|$、$|QB|$，令比值与 $x$ 无关

避坑指南：第(1)问是标准抛物线定义，焦点 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$、准线 $y=-\frac{5}{8}$；第(2)问 $k=0$ 时比值非常数要先排除，比较零点得 $k=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江卷文第 22 题、2010 浙江卷文第 22 题同考抛物线综合。

结论推广：抛物线由定义（到定点与到定直线距离相等）直接写方程。

方法推广：定值问题令比值与动点坐标无关，比较两个一次式的零点或系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2010-浙江卷文-22 解-抛物线与直径圆
• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦
• 2010-上海卷文-08 填-抛物线定义求轨迹