2007-福建卷文-11 单-奇偶性与导数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及导数与单调性。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 已知对任意实数 $x$，有 $f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$，且 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$g^{\prime }(x)>0$，则 $x<0$ 时 ()

A. $f^{\prime }(x)>0$，$g^{\prime }(x)>0$　　　　　　　　　　　　　B. $f^{\prime }(x)>0$，$g^{\prime }(x)<0$

C. $f^{\prime }(x)<0$，$g^{\prime }(x)>0$　　　　　　　　　　　　　D. $f^{\prime }(x)<0$，$g^{\prime }(x)<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数在对称区间单调性相同，偶函数相反。
2. 或用 $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$（奇函数导为偶函数）、$g^{\prime }(-x)=-g^{\prime }(x)$（偶函数导为奇函数）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(-x)=-f(x)$ 两边求导：$-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$，即 $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$，$f^{\prime }$ 为偶函数，故 $x<0$ 时 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)>0$． 对 $g(-x)=g(x)$ 两边求导：$-g^{\prime }(-x)=g^{\prime }(x)$，即 $g^{\prime }(-x)=-g^{\prime }(x)$，$g^{\prime }$ 为奇函数，故 $x<0$ 时 $g^{\prime }(x)=-g^{\prime }(-x)<0$． 故选 B． （几何直观：奇函数 $x>0$ 增则 $x<0$ 也增；偶函数关于 $y$ 轴对称，右侧增则左侧减。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性与导数

核心方法：奇函数导函数为偶、偶函数导函数为奇；或直接用对称区间单调性

避坑指南：对 $f(-x)=-f(x)$ 求导时左边有负号：$-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$，注意链式法则符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性与导函数奇偶性的组合，导数应用早期考法

结论推广：推广：可导奇函数的导函数是偶函数，可导偶函数的导函数是奇函数（逆命题不真）

方法推广：对称区间单调性判断：奇函数同增减、偶函数增减相反

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2007-上海卷文-19 解-函数奇偶性讨论
• 2007-辽宁卷文-13 填-奇函数求值
• 2007-江苏卷-08 单-奇函数定参解不等式