2007-江苏卷-08 单-奇函数定参解不等式

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及对数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 设 $f(x)=\lg \left(\frac{2}{1-x}+a\right)$ 是奇函数，则使 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $(-1,0)$　　　　B. $(0,1)$　　　　C. $(-\infty ,0)$　　　　D. $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 奇函数定义域关于原点对称且 $0$ 在定义域内，故 $f(0)=0$，解出 $a=-1$。
2. 化简 $f(x)=\lg \frac{1+x}{1-x}$，定义域 $(-1,1)$。
3. $f(x)<0⟺0<\frac{1+x}{1-x}<1$，注意 $1-x>0$ 直接去分母。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

奇函数的定义域关于原点对称，且 $0$ 在定义域内，因此 $f(0)=0$．由 $f(0)=\lg (2+a)=0$ 得 $a=-1$．此时 $f(x)=\lg \left(\frac{2}{1-x}-1\right)=\lg \left(\frac{1+x}{1-x}\right),$ 其定义域为 $(-1,1)$．在此定义域内，$f(x)<0$ 等价于 $0<\frac{1+x}{1-x}<1.$ 因为 $-1<x<1$ 时 $1-x>0$，所以不等式右半部分等价于 $1+x<1-x$，即 $x<0$．故 $f(x)<0$ 的取值范围为 $(-1,0)$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定参解不等式

核心方法：f(0)=0 先定参，再解对数不等式

避坑指南：奇函数若在 0 处有定义则 f(0)=0；解 0<(1+x)/(1−x)<1 时利用定义域内 1−x>0 直接去分母，别硬乘分母讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”函数的奇偶性与对数函数”

结论推广：奇函数在原点有定义则过原点；lg u<0 ⟺ 0<u<1

方法推广：含参奇函数先 f(0)=0 定参；解对数不等式先写真数大于零

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-02 单-对数函数图象
• 2010-大纲卷II文-04 单-对数反函数
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值