2007-上海卷文-19 解-函数奇偶性讨论

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+\frac{a}{x}$（$x\ne 0$，常数 $a\in \mathbf{R}$）. （1）当 $a=2$ 时，解不等式 $f(x)-f(x-1)>2x-1$； （2）讨论函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) 代入 $a=2$，先写定义域 $x\ne 0,1$；展开 $f(x)-f(x-1)$，与右边相消。
2. 剩下 $-\frac{2}{x(x-1)}>0$，即 $x(x-1)<0$，结合定义域得解。
3. (2) 求 $f(-x)$；分别令 $f(-x)=f(x)$ 与 $f(-x)=-f(x)$，看对定义域内所有 $x$ 是否恒成立。

✅【答案】

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(1) $\{x\mid 0<x<1\}$；(2) $a=0$ 时 $f(x)$ 为偶函数，$a\ne 0$ 时 $f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=2$ 时，原不等式的定义域要求 $x\ne 0$ 且 $x-1\ne 0$，即 $x\ne 0,1$．在此定义域内， $f(x)-f(x-1)=x^2+\frac{2}{x}-\left((x-1{)}^2+\frac{2}{x-1}\right)=2x-1-\frac{2}{x(x-1)}.$ 所以 $f(x)-f(x-1)>2x-1⟺-\frac{2}{x(x-1)}>0⟺x(x-1)<0.$ 结合定义域，解得 $0<x<1$． （2）函数定义域为 $\{x\in \mathbf{R}\mid x\ne 0\}$，关于原点对称．对任意 $x\ne 0$， $f(-x)=x^2-\frac{a}{x}.$ 若 $f(x)$ 为偶函数，则对任意非零 $x$ 有 $f(-x)=f(x)$，于是 $\frac{2a}{x}=0$，从而 $a=0$．当 $a=0$ 时，$f(x)=x^2$，确为偶函数． 若 $f(x)$ 为奇函数，则应有 $f(-x)=-f(x)$，即 $x^2-\frac{a}{x}=-x^2-\frac{a}{x},$ 从而 $2x^2=0$，这不可能对定义域内所有 $x$ 成立．因此不存在使该函数成为奇函数的实数 $a$． 综上，当 $a=0$ 时函数为偶函数；当 $a\ne 0$ 时函数既不是奇函数也不是偶函数．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性讨论

核心方法：按定义令 f(-x)=±f(x) 对定义域恒成立求参

避坑指南：讨论奇偶性先确认定义域关于原点对称；“恒成立”要对所有非零 x 成立，取特殊值只能否定不能肯定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”函数的奇偶性”

结论推广：f(-x)=f(x) 恒成立定偶，f(-x)=-f(x) 恒成立定奇；参数由恒成立的条件反求

方法推广：含参奇偶性：先代定义建立等式，把参数当未知数解；再回代验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2010-天津卷文-05 单-量词命题与奇偶性
• 2010-广东卷文-03 单-指数型函数奇偶性
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值