2007-福建卷文-16 填-等价关系新定义

本题导读

本题考查新定义（等价关系），以及开放性试题。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 中学数学中存在许多关系，比如”相等关系""平行关系”等等. 如果集合 $A$ 中元素之间的一个关系"$\sim$"满足以下三个条件： ①自反性：对于任意 $a\in A$，都有 $a\sim a$； ②对称性：对于任意 $a$，$b\in A$，若 $a\sim b$，则有 $b\sim a$； ③传递性：对于任意 $a$，$b$，$c\in A$，若 $a\sim b$，$b\sim c$，则有 $a\sim c$. 则称"$\sim$"是集合 $A$ 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而”直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出两个等价关系： $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 候选关系须同时满足自反、对称、传递三性。
2. 图形的全等：三条均成立。
3. 图形的相似：三条均成立。
4. 注意”数的整除”不满足对称性、“直线的平行”不满足自反性，均不可选。

✅【答案】

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答案不唯一，如”图形的全等”、“图形的相似”（又如”非零向量的共线”、“命题的充要条件”等）

✍【详细解析】

Abstract

只需所举关系同时满足自反性、对称性、传递性． “图形的全等”：任何图形与自身全等（自反）；全等具有对称性（对称）；全等具有传递性（传递）．成立． “图形的相似”：同理三条均成立． 其余如”非零向量的共线”、“命题的充要条件”等也满足三性；而”直线的垂直”不满足传递性、“数的整除”不满足对称性、“直线的平行”不满足自反性，均不可选． 答案不唯一，写出两个满足三性的关系即可．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等价关系新定义

核心方法：按自反、对称、传递三性逐条验证候选关系

避坑指南：常见陷阱：平行（不自反）、整除（不对称）、垂直（不传递）；举例后必须逐条验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等价关系（自反/对称/传递）新定义题，福建卷特色开放题

结论推广：数学中所有等价关系（同余、相似、全等、矩阵等价）都满足三性

方法推广：新定义题先把定义翻译成可操作的三条检验，再逐个关系验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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