2008-湖南卷文-15 填-取整组合数新定义

本题导读

$C_8^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3}$；$x\in [2,3)$ 时 $C_8^x=\frac{56}{x(x-1)}$，$x(x-1)\in [2,6)$，值域 $\left(\frac{28}{3},28\right]$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2$，$\left[\frac{5}{4}\right]=1$）. 对于给定的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，定义 $C_n^x=\frac{n(n-1)\cdots (n-[x]+1)}{x(x-1)\cdots (x-[x]+1)}$，$x\in [1,+\infty )$，则 $C_8^{\frac{3}{2}}=$　　　；当 $x\in [2,3)$ 时，函数 $C_8^x$ 的值域是　　　.

🔍【思路分析】

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$x=\frac{3}{2}$ 时 $[x]=1$，分子分母各一个因子；$x\in [2,3)$ 时 $[x]=2$，$C_8^x=\frac{8\times 7}{x(x-1)}$，注意 $x(x-1)$ 递增取不到 $6$.

✅【答案】

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$\frac{16}{3}$；$\left(\frac{28}{3},28\right]$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$[x]=1$，分子为 $8$，分母为 $\frac{3}{2}$，故 $C_8^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3}$. 当 $x\in [2,3)$ 时，$[x]=2$，$C_8^x=\frac{8\times 7}{x(x-1)}=\frac{56}{x(x-1)}$. 令 $u=x(x-1)$，$u$ 在 $[2,3)$ 上递增，$u\in [2,6)$，故 $C_8^x=\frac{56}{u}\in \left(\frac{56}{6},\frac{56}{2}\right]$，即值域为 $\left(\frac{28}{3},28\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数与新定义组合数

核心方法：按 $[x]$ 分段：$x\in [k,k+1)$ 时分子分母各 $k$ 个因子；值域问题看分母的单调与端点取不到

避坑指南：$x=\frac{3}{2}$ 时 $[x]=1$ 只有一个因子 $8$，别按 $[x]=2$ 算；$x\to 3^{-}$ 时 $x(x-1)\to 6$ 取不到，值域左开右闭

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：取整函数与组合数结合的新定义题（本卷填空压轴）

结论推广：新定义题按定义分段”翻译”，值域问题变成分式在区间上的值域

方法推广：$[x]$ 的存在使函数分段——先确定 $[x]$ 再代定义；端点能否取到由 $[x]$ 的跳变决定，值域的开闭别想当然

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列
• 2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期
• 2010-湖南卷文-15 填-子集编码新定义
• 2011-湖南卷文-16 填-新定义函数计数